Irrediizible komplexe Zahlensysteme. 281 



a) e x ß) e x 7) ^ e 2 6) ^ e 2 



«1 • • • • «1 e 2 . . . . 



. . . . e 2 . . . . 



Behandeln wir zuerst a). Wir können das System sofort in die Form bringen: 







e l 







e l 



K 



& 23 







^32 ~^~ ^32 



ö 33 + ^33 



(Nach den a ist immer die Einheit e x zu ergänzen, nach den b, e 2 ). 



Damit das System in der Form a bleibt, sind noch die Transformationen e x — a x e v e 2 = b x e x + b x e 22 

 e 3 = c 3 e 3 , e i = d 3 e 3 + d i e i + d 6 e 6 , e b =f 3 e 3 +f- e h möglich. Immer ist: e\ —f%.e\. Wir bekommen also 

 drei verschiedene Fälle, je nachdem e\ — 0, = e x oder von e x unabhängig ist, also = e 2 gesetzt werden 

 kann. — Wir haben also zuerst: 



e x 



^1 ^22 ^23 



a 32 + b 32 



Ist das System in e 2 kommutativ, so bleibt es so bei jeder der erlaubten Transformationen. Je nach- 

 dem also b 23 = b 32 dfzO oder = ist, haben wir 







e x e x 







e l 



e 2 oder e x e 2 











e i + e 2 e x 







Beide sind den reziproken äquivalent. 



Ist b 23 z^zb 32 , so ist entweder b 23 — — b 32 oder nicht. Im ersten Falle kann man nicht, wenn es nicht 

 schon ist, b 22 =z machen. In beiden Fällen kann man b 23 z%zO, also — 1 voraussetzen und durch 



1 



e 2 + e x x = e 2 , wo x = , 



a 32 wegsch; 



iffen. Also 







e x 









e x 



e 2 





le 2 







Xijzl; (äquivalent dem reziproken mit X' = — ) oder 



A 







c x 







e l 



C 2 



e 2 







~ e 2 



0. 



(gleich dem reciproken). 



Ist el = e x , und ist das System kommutativ in e 2 , so haben wir analog wie früher 







e l 



e x 







sonst: e x 











e i 







e l 







e 2 und e x e 2 







e x 



e 2 



ß i 



e 2 



e 2 







e x + e % 



e x e x 



e i 



le 2 











-H 



e i 



