Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 283 



e 1 e 2 e x e 2 



\dp\ und 

 \e 2 — e 2 e 2 



Im zweiten Systeme sind alle Einheiten einzig. Das erste geht durch e x = e x + x (X + 1) e , e 2 = e 2 , 



e 3 = e 3 -f- xe i e 4 = e± in sich selbst über, durch e 2 + X e 2 in das reziproke mit X' — — und enthält das 



kommutative für X= 1. Es bleibt noch: 



^11 ^2' ^12 ^1 ~*~ 12 ^2 



^12 ^1 """" 21 ^2' ^22 ^2 



es ist nur die Permutation e 3 = <? 4 , e 4 =z e 3 und e t = e x + a: e 2 erlaubt. Durch Wahl des x kann man 

 b 2X =z —b x2 machen, dann haben wir entweder b xl =b 22 = und man erhält e x 



e 3 

 welches noch die Permutation zwischen e v e 2 und e 3 , e± erlaubt, oder es ist eine der beiden Zahlen b lx 

 und b 22 d^zO und da erhalten wir 



e 2 e i ~^~ e 2 



e \ e i ^2 



wo e x auch einzig ist. Eine Permutation führe ein System mit X in eines mit X' über; sie sei: e x = ae x , 

 e 2 = b e 2 , e 3 = c e v e 4 = d e 3 , so erhalten wir: d 2 = \ r b,\c 2 = b, c d= — b, cd = a, also : X c 2 d 2 = X' b 2 , 

 X = X'; b = X c 2 , d — — X c, a = — X c 2 . 



Es wird also durch diese Permutation das System in sich selbst übergeführt; für X — ist die 

 Permutation nicht mehr erlaubt. 



Nun gehen wir zu unserem Falle über. Zuerst haben wir 



\e x 



e x e 2 



erlaubt sind e x — e v e 2 = e 2 + x (1 + X) e x , e 3 =: e 3 , e± = e±, e- 3 = e b + x e v 



b xx — und z^zO sind verschiedene Fälle, also: 



e x 



e x Xz}=l 

 X^ £ 2 



oder & n =JrO; da ist entweder X rr — 1 und es bleibt für alle Transformationen das System unverändert, also 



e x + e 2 <? 2 



«, und e x 

 — e x e 2 — e x e 2 



oder Xi — 1, da nehmen wir x = — und wir bekommen das System: 



. *n (1 + X) 



<? 2 



e x X=}=1 



X ^ e 2 



welches den vorigen Fall für X = — 1 in sich enthält. 



