Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 285 



Ist (?§ — e 2 , so kann man jedenfalls durch e 4 = ß 4 4- # ß 5 , wo * Wurzel der Gleichung 



& 22 + x (b 23 + b 32 ) + x°- — Q 

 ist, b 22 = machen. Wir erhalten also: 



e t e 2 

 «i ° ^2 



9 2 9 



Ist Xzjz— 1, so kann man es durch e 2 = c- e 2 , e 3 — c e 3 , e±— — £ 4 + — e 5 , e 5 z:ce ä) 



X + 1 2 



1 ! X — ! 1 ^r u - 



ß t -f <? 2 , wo c = , zu — 1 reduzieren. Wir haoen also nur: 



X + 1 2 - 2 (X + 1) 



Ist <7 33 ^zO, so kann man Z? 33 =z annehmen. 







ß l 



*2 



ß l 







^2 



ß 2 



- ß 2 



^2 



men. 











«l 



C 2 



ß i 



& 22 



hs 



f 2 



& 32 



a 3Z 



Erlaubt sind noch alle oberen Transformationen. Man kann aber leicht finden, daß notwendig 

 a 2 ■= d 3 — d 5 —f % = sind. 



Man kann leicht sehen, daß b 23 und a 33 zu 1 reduziert werden können, und man hat: 



e x e 2 



1 1 2 2 2 ' —f ' ' 



^2 X 2 *2 ß l 



Jedes System ist äquivalent dem mit 1!\ = — \ und äquivalent dem reziproken mit 



H' v ' = Hü x 



Fall 8) 



^2 ^22 """ ^22 a 23 "*" ^23 

 a 32 + & 32 «Z 33 + & 33 



Erlaubt sind 



h - a i e i 



h = T> t e t + K c 2 



e 3 —c e 3 



h - J 3 % + d i C ± + d ö e o 

 h =f e 5 



Wir haben drei Fälle, je nachdem e\ == = e v oder d£.e 1 also := <? 2 . Fangen wir bei dem letzten an, 

 dann ist auch e 2 einzig, also auch b 1 =: und d 3 = 0. 



Ist das System in e 2 kommutativ, so kann man b 23 = b 32 = machen und es bleibt 



e x e 2 



e 2 X 1 e 1 +\e 2 \e x X 3 z}zX 4 

 X 3 e t e 2 



X 4 kann man zu 1 reduzieren und man bekommt: 



Denkschr. d. mathem.-naturw. Kl. Bd. LXXXIV. 39 



