286 Dr. Guido Vogliera, 



e x e 2 



e 2 \ e x + X 2 e 2 e x X 3 =|z 1 



X 3 e t e 2 



Jedes System ist äquivalent dem mit Xi = s X 1 und X£ = s 2 X 2 (s eine dritte Einheitswurzel) und 



1 / 1 \V> / 1 \7s 



äquivalent dem reziproken mit X 4 — — , Xi = X 1 — , X<j = — X 2 . 



Ist das System in e 2 nicht kommutativ, so haben wir, da & 23 = 0, Z7 32 ==: 1 gemacht werden kann, 



e x c 2 



c 2 \ e x + X 2 e 2 X 3 e x 

 \ e x + e 2 e 2 



Die Systeme sind alle ungleich und sie sind mit den reziproken mit Xi = \ — X 3 — X 4 . X<> = X 2 , 

 X 3 — — X 4 , X 4 = — X 3 gleich, wie man leicht finden kann. 



Gehen wir zum Fall e 2 = e x über. Ist die Tafel nicht in e 2 kommutativ, so kann man sie in e x 

 kommutativ machen und da wird e 2 einzig und d„ = 0. Ist sie zunächst kommutativ in e 2 , so kann man 

 b 22 = machen und dann entsteht das System: 



e x e 2 



e 2 ci 22 a 23 + e> 23 

 a 32 + b 23 e x 



Erlaubt sind e x = c 2 e x , e 2 = cd 3 e x -t- c d 4 e 2 , e 3 = c e 3 , e 4 — d 3 e 3 + d 4 e± + d b e h , e h —f\c e 5 , wo 

 t\ = ± 1. 



Wenn b 23 =£= ± i, so kann man a 23 = machen, und es muß d 3 = d h — sein. Ist Z7 23 = ± i, so kann 

 man a 23 =. 1 machen, und falls a 23 z}= — a 32 , a 22 = 0. Ist dagegen a 23 + a 32 = 0, so bleibt a 22 als Para- 

 meter. Wir erhalten also 



e x e 2 



e 2 \e x \e 2 \df±i 



e x + X 2 e 2 e x 



(jedes System äquivalent dem mit X£ = — X 2 und seinem reziproken) und: 



ß l C 2 







e i 



e -z 







e 2 



\e x + i c 2 



und e 2 



\e x 



e x + 



e x + i e 2 



e i 







— e x + i e 2 



H 



ie 2 

 (von den beiden letzten Systemen sind die ersten gleich ihrem reziproken mit dem Parameter X' = — , 



A 



die zweiten ihren reziproken mit demselben Parameter). 



Ist das System in e x kommutativ, dann sind alle Einheiten einzig: man kann nämlich a 23 —a 32 =Q 



machen. & 23 ^z& 32 verändern sich bei keiner Transformation. Wir bekommen also, je nachdem a 22 ,b 22 oder 



beide d^zO sind: 



e x e 2 e x e 2 e x e 2 



e 2 \ e x + e 2 \ e 2 e 2 e x \ e 2 e 2 X 2 e 2 



\c 3 e x X 3 e 3 e x X 3 e 3 



(jedes System gleicht dem mit X 2 = — X 2 und X 3 = — X 3 und dem reziproken mit X 3 = X 2 , X 2 — X 3 ). 



Endlich kann e\ = sein; auch hier kann das System, wenn es nicht in e 2 kommutativ ist, in e i 

 kommutativ gemacht werden. Nehmen wir also zuerst b 23 — b 32 an. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nach- 

 dem Z? 23 = b 32 := oder =^0. Im ersten Fall haben wir 



