Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 287 



e 1 e 2 e x e 2 

 e 2 ßj e t und e g c x 

 — ßj k t 



Ist & 23 =j= 0, so kann man es zu 1 reduzieren. Auch a 23 kann man zu 1 reduzieren, a 22 und b 22 

 zu und man bekommt mit Hilfe einer nicht ganz einfachen Transformation, die ich hier der Kürze 

 halber nicht wiedergebe: 



H e 2 



e 2 e t + e 2 



Xßj + <: 2 o 



(jedes System gleich dem mit X' = — und seinem reziproken). 



k 



Ist das System in e x kommutativ so ist ^ = ^=0; wir unterscheiden zwei Fälle: erstens: 

 a 23 = a 32 == 0, und in dem Falle weiter: a 22 = oder =}=0; und zweitens: a 23 z$z0. 



Also im ersten Falle : 



e 1 e 2 ^ e 2 e t e 2 e x e 2 



£ 2 £ 2 X =|= 1 e 2 e 2 e 2 e 2 e x e 2 X =}=: 1 e 2 <? 1 + X <?, 



2 fc 2 



\e 2 -e 2 he 2 -e 2 



In diesem letzten ist jedes System gleich dem mit X' — — X. 

 Und im zweiten Falle: 



«1 ^2 ° 



^2 X l ^2 ^2 + e i l 2 ^ 1 



X 2 <? 2 -+- ß x 



(jedes System gleich dem reziproken mit X£ =r — , \[ = Xj X 2 ). 



2 

 So ist der Fall, daß nur eine kommutative Zahl vorkommt, vollständig erledigt und ich gehe zum 

 schwierigeren über, daß keine kommutative Zahl existiert. 



IL Fall. Es gibt keine kommutative Zahl; es gibt aber eine Zahl, die in e v eine, die in e 2 kommutativ 

 ist. Zwei solche Zahlen könnten nicht existieren, denn sonst wäre die ganze Tafel in einer Einheit 

 kommutativ; es würde also eine in beiden Einheiten kommutative Zahl geben. 



Nehmen wir e 3 kommutativ in e x , e 4 in e 2 , so ist ä 12 — a 21 , b 12 —b 2V a ls =a 3v b 23 =b 32 , aber a 32 d\pa 23 , 

 b n ^zb 31 , wo die a und die b die gewohnte Bedeutung haben. Wie wir gesehen haben, ist diese 

 Form, die wir die Form A nennen, für den Fall II charakteristisch. Ist auch a 13 zjra 31 oder b 93 ^zb 32 , aber 

 a 12 — a 2V b l2 ■=. b 21 , so sagen wir, daß das System die Form B hat. Ist sowohl a 13 =f=a 31 als b 23 z$zb 32 aber 

 wieder a i2 =a 2V b 12 =b 2v so ist es in Form C. Ein System in Form B kann — es sei zum Beispiel a 13 dfia. iV 

 b 23 = b 32 — durch geeignete Wahl des x in e 1 ■= e D e 2 ~ xe x + e 2 in die Form A gebracht werden. Es 

 ist also auch B für diesen Fall charakteristisch. In Form C können auch Systeme des I. Falles geschrieben 

 werden. Gehört aber das System zum II. Fall, so kann man es auf die Form A bringen. 



Betrachten wir nun eine lineare Form der e 3 und e±. a = a e 3 + b e±; wie leicht zu sehen, existiert 

 in jedem Falle eine Transformation e x ■=. ä t e 1 -+- ä 2 e 2 , e 2 ■=zb 1 e 1 + b 2 e 2 , so daß a in e t kommutativ wird. 



Für Form A ist der Beweis leicht direkt gegeben; da aber B und C sich durch Transformation der 

 e x und e 2 allein auf A reduzieren lassen, gilt der Beweis für alle 3 Formen. Umgekehrt ist für jede Zahl 



e t — a x e x + b 2 e 9 ein Verhältnis — bestimmbar, so daß a z=z a e 3 + b e± in e x kommutativ ist; und zwar nur 



b 



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