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Dr. Guido V o gher a , 



ein solches Verhältnis, denn sonst hätten wir zwei verschiedene Zahlen, die in einer nullfaktorialen Ein- 

 heit kommutativ wären; es würde das System zum I. Fall gehören. Daraus folgt, daß, wenn das System 

 in einer der drei Formen A, B, C geschrieben ist und, falls es in Form C geschrieben ist, wenn es zum 

 IL Falle gehört, in den Transformationsformeln zweier äquivalenter Systeme: 



h — a i e i + a 2 e 2 



^3 — ' C S e 3 "+" C i ß 4 ~*~ C b e b 

 & x — & 3 6 3 -+■ (*£ &£ ~r~ Ög £5 



h—fzh +fi e ±+fi> e ö 



c 5 zz d- zz sein müssen. 



Denn wäre zum Beispiel c 5 z}rO so ließe sich zunächst i x so bestimmen, daß e 3 in e x kommutativ ist, 

 sodann az=ae 3 + be i so, daß mit a in e x kommutativ ist; es waren also a und e 3 kommutativ e x \ sie sind 

 aber unabhängig, weil a nur e 3 und e± enthält, folglich würde das System zum I. Fall gehören. 



Das System enthält als Untersystem (e x e 2 e 3 e 4 ) eines der fünf kommutativen Systeme: 



a) 

 



ß) 







T) 



8) 







*) 







und alle diese Fälle sind verschieden. 



Fall a). Wir können es sofort in Form A schreiben: 











a. 



31 



».1 







a v3 + b 13 







a 23 ~^~ ^23 



^32 ~*~ ^32 



ö 33 + ^33 



a 13 — a 3V b 23 



b 32 . Ist nun b 23 = 0, so können wir durch Vertauschung von e t e 2 und e 3 e± a 13 = machen, 



sonst kann man leicht zwei Werte x undjy in e 2 zz e 2 + xe v e x -=.e x -\- y e 3 finden, so daß ebenfalls a n = 

 wird. Wir können also allgemein a 13 = nehmen. Nun untersuchen wir, ob noch eine Zahl existiert, die 

 in den Produkten nur eine lineare Form der Einheiten enthält. Diese lineare Form kann nicht e 2 sein* 

 denn sonst kommen wir auf den I. Fall zurück. Die Bedingung für die Existenz einer solchen Zahl 

 a zz a x e 3 ■+- a 2 e x ist: 



a. x b 13 + a 2 b 23 | 



«1 hl + a 2 b 23 

 7-, 



wo A 





= 



^2 ^23' 

 a 2 ^32' 



ß 23 "l3 







ß 32 ^31 







H\?-2 l 2% (^23— ^3 2 ) + a l A ] 



Die Lösungen sind : entweder a 2 zu 0; oder 1. A zz 0,*& 23 zz 0, a x und a 2 beliebig, 2. A zz 0, b 23 rj= 0, 

 gibt keine andere Lösung als a 2 zz 0, 3. Azj^O noch a x zz ' 2 23 32 — 



Für 1. haben wir also alle Zahlen a, für 2. nur <? 3 , für 3. a zz <? 4 



nur eine lineare Form enthalten. Die 3 Fälle sind verschieden. 

 1. und 3. zusammen geben nur 



die Werte \ 

























^1 e 2> 



K e i 



^= 



— eingeschlossen. 

 





'33 



'33 



( a 32 ^23) g 3 + C i 



, welche 



\,\dfzl 



