Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 289 



Wenn nicht \ = X 23 ist nur die Vertauschung erlaubt. Ist nicht \ oder X 2 = — 1, so kann man sofort 

 a ss =b ss = machen; ist einer der beiden = — 1, zum Beispiel \ so kann nur a 33 = gemacht werden; sind 

 beide = — 1, so ist, da \ z= X 2 , e 2 = xe 1 + e 2 , e 3 = e i +xe 3 möglich, es kann also auch hier a 33 — gemacht 

 werden. Für \ — X 2 ist noch eine Reihe Transformationen möglich, sie haben aber keinen Einfluß auf die 

 Systeme. Der Fall \ =. X 2 — — 1, b 33 = gibt ein System II. Grades. Auch die in den Tabellen ange- 

 gebenen Gleichheitsbedingungen für die reziproken Systeme sind leicht zu beweisen. Folglich haben wir 











e 2 











e 2 











e i 











e i 



\e 2 



h e i 







~ e 2 



\e 1 



e 2 



2. Wenn aber nur eine Einheit e 3 existiert, so ist sie einzig, also auch e 2 und folglich, da <? 4 in e 2 

 kommutativ ist, auch e x und e r Wir haben also nur die beiden nachstehenden Systeme 



e 2 



e t + e 2 



\ e 2 K e i + e 2 ° 







e 2 







e x + 



e 2 



e t e 2 e 2 



Fall ß). Zulässig sind die Transformationen: e l = a e v e 2 = b l e 1 + b 2 e 2 , e 3 = c 3 e 3 + c i e±, e i = d e i 

 e b =f 3 e 3 +f A e± +f b e b . Nun kann e i kommutativ in e 2 sein oder nicht. Die zwei Fälle sind gewiß ver- 

 schieden und im zweiten kann man durch Wahl von b t e± in e t kommutativ machen. 



Ist e 4 in e x kommutativ, so muß b i =z sein, durch Wahl von c i kann man e 3 in e 2 kommutativ 

 machen und da wird auch e 3 einzig; a 13 kann man machen und dann istf 3 — 0. Jetzt kann man unter- 

 scheiden, je nachdem tf 23 =0 oder nicht. Im letzteren Falle kann man tf 33 =0 machen und dann ist/ 4 = 0, 



also 



e t \ e 2 



e 1 + e 2 X 2 =|rl 



e x + \ e 2 e t + X 2 e 2 X 3 e 2 



(alle Systeme verschieden, und gleich den reziproken mit X-j = — X 2 =r — , X'i =. L für X 2 z^z 0, 



X 2 X 2 X 2 



— ; für X 9 =: ist es gleich dem reziproken mit X'i — — , X'i = \ X& = X 3 — 2 X x ). 

 X 2 



Ist a 23 = 0, so kann X 2 = oderrjz —1 sein und in beiden Fällen \ = oderr(z0. 



Wir erhalten also: 



«1 e 2 



X^dbl 



(gleich den reziproken mit X'i 



(gleich den reziproken mit X'i 



e l 









£ 2 













C 2 



«1 + 



e 2 



Xj e 2 



Vi 



— ; x 2 = X 2 ); 









e l 









e 2 













£ 2 



e x + e 2 



—% 



\ 



e t + X 2 e. 



\, x 2 = — X 2 + 



2). 







