



e i 



e 2 



e l 











\e 2 



e i 



\ e 2 



Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 291 



e 1 e 2 e 1 e 2 



e x e 2 e x 



\ e 2 e x + e 2 X 2 e x + \e 2 X e 2 e x e x + X 3 £ 2 



jedes System gleich dem reziproken mit Xi ■=. — , X 2 = — , X 3 = — \ z^zO 



\ ^1 \ \ 



Im zweiten: 



e x + e 2 e 2 



e t + e 2 e t 



\ C 2 \ e i K e i + K <V 



jedes System glich dem mit X'i — X 2 , X 2 = \, X 3 zz X 4 , X'4 1= X 3 und dem reziproken mit Xi = — 



A i 



■>/ * \i ^3 \r K 



A 2 — — , A3 — , A4 — 



X 2 \ X 2 X 1 X 2 



Fall 8). e 1} e 2 , e 3 , e 4 sind einzig. Wir haben zwei Fälle: <? 4 ist kommutativ in e x oder e 3 in e 2 oder 

 keine dieser Bedingungen trifft zu. Im ersten Falle können wir durch e 2 = e 2 + xe 1 , e 1 =ze 1 ,e i in e x 

 kommutativ machen, e 3 ist in e 2 kommutativ. Also: 



e x X 2 e 2 



e 2 + \ e t X 3 e x + e 2 



e x + \ e 2 X 3 e t X 4 e t + X 2 e 2 



Für X 1 =^:0 ist die Permutation nicht mehr erlaubt. Für \ = ist jedes System gleich dem mit 

 X5 zz X 4 zz 2 X 2 , X 4 = X. — 2X 3 , X 2 = — X 3 , X 3 zz — X 2 ; für XjZJzO ist jedes gleich dem reziproken mit 

 X zz X 4 — 2 X 2 — X 1? X5 zz X 5 — 2 X 3 , X3 zz — X 3 + h v X2 zz — X 2 . 



Im zweiten Falle können wir durch Wahl des e x und des e 2 , e 3 in e v ß 4 in e 2 kommutativ machen ; 

 dann müssen a xl und b 22 z$z0 sein und wir erhalten: 



e t + \e 2 e 2 



e 2 + \ 2 e x e x X 3 , X 4 =|=1,X 1 :£ — 



X 3 e 2 \ i e x \e x +\e 2 . 



Und jetzt ist nur die Permutation £ 4 mit e 3 , e 2 mit e x erlaubt, denn sonst würde die Kommutativität 

 gestört werden. 



Diese Systeme gehen ineinander über für X' = eX 1} X 2 zzsX 2 , X 3 zz X 3 , X 4 zu X 4 , X£zzsX- X' 6 zz s X 6 

 und für Xi zz X 2 X 2 , zz X 3 , X 3 zz X 4 , X 4 zz X 5 , X5 zz X 6 , X 6 zz X 5 und in die reziproken mit 



mit X' 3 zz — , X 4 z= — , X' 6 zz ^L_ X£ = k=, X 2 z= V 3 /M_X 2 , Xi zz "/llx,. 



x 3 ' x 4 ' x lV yx 3 x!' x 4 N^x 4 xr \ht 2 VM 



Die Fälle X, zz und — und X . zz und — sind auch zulässig, nur hat man dann in den Nennern 

 



von X'i, X 2 , X5, Xe den betreffenden Wert mit 1 zu ersetzen. 



Fall e). Erlaubt sind e x = a x e x + a 2 e 2 , e 2 zz be 2 , e 3 = c 3 e 3 -h c 4 e x , e 4 = d e 4 , e 5 zz/ 3 e 3 + f±e iX +/ 5 e b . 

 Wir unterscheiden zwei Fälle: entweder ist e 4 in e x kommutativ oder nicht. Ist das nicht der Fall, so exi- 

 stiert gewiß ein e 3 , welches in e v also in e x kommutativ ist. 



