292 Dr. Guido Voghcra, 



Der Fall, daß e± in e x kommutativ sei, hat mir die größten Schwierigkeiten dargeboten, weil in diesem 

 Falle alle Transformationen erlaubt sind; das System bekommt die Form: 



e x 



C 2 



& 13 



e 2 







«23 + Z? 23 



e i 



a 23 + ^32 



a 33 + ^33 



& 23 =}= & : 



32 



Der allgemeinste Äquivalenzversuch ergibt zuerst, daß b 32 — b 23 eine Charakteristik des Systems ist 

 und wir können zwei Fälle unterscheiden, je nachdem b 32 — & 23 =oder 4=2 ist. Im zweiten Falle kann man 

 b 13 = machen und dann wird das System einzig. Sonst haben wir zwei verschiedene Fälle, je nachdem 

 a 23 = oder =}=0 ist. In diesem Falle kann man a 23 =z 1 und b 23 = — b s2 = — 1 machen, sonst kann man 

 a 33 nicht weiter reduzieren; und ist a 33 rr — (b$s + b 23 ), so kann man auch b 33 nicht reduzieren, sonst kann 

 man es gleich Null machen. Wir erhalten so folgende neue Systeme: 



e x e 2 e x e 2 



e 2 e x + (k x —\)e 2 e 2 (X 1 — l)e 2 



e x e x + (k 2 + \ + l)e 2 \ 3 e x +X i e 2 e x (X 2 + X x + l)e 2 X z e x + e 2 



e x e 2 e x e 2 \e 2 



e 2 (\ — \)e 2 X 2 4=0,4=— 2 e 2 e 1 —e 2 



e i (\ + \+ 1)^2 \ e i e i e i + e 2 h e i + K e 2 



ß l ' ß 2 " ^1 e 2 e 2 



e 2 (X,— 1)^ 2 e 2 (X, — l)e 2 X 2 =^:0 



«1 ( X l + 1) ^2 ( X 2~ X 1 + X l) e i e X ( X l + 1) ^2 ( X 2~ X 1 + X l) e i 



e x e 2 e 2 e x e 2 



e 2 {\ — \)e 2 e 2 (X x — 1) <? 2 



e x (X x + l)e 2 (—X\ + X x )e x +X 2 e 2 e x (\ + 1) e 2 (—X 2 1 + X 1 )e ] +e 2 



e x e 2 



e 2 (X 1 — \)e 2 



e x (X x + 1) e 2 (-X? + X x ) ^ 



In der Tabelle sind diese Systeme mit einer leicht ersichtlichen Transformation wiedergeben. Das 

 dritte, fünfte und neunte wurden in das dritte System der Tabelle vereinigt. Die Äquivalenzangaben mit 

 den reziproken erfordern auch Transformationsversuche. Diese ergeben zuerst, daß auch für die reziproken 

 b 23 — b 32 und a 23 = und z^zO charakteristisch sind. Im Falle, daß b 23 — b 32 + 2 = ist, bilden auch hier 

 b X3 =,4=0 zwei Fälle. Die weitere Diskussion gestaltet sich leicht und es folgen die angegebenen Trans- 

 formationen für den Übergang in die reziproken. 



Ist endlich <? 4 in e 2 kommutativ, so ist e x und also auch e 3 einzig. Das System erscheint folglich in 

 der Form: 



e x e 2 e 2 



e 2 e x + X 2 c 2 



\ e i X s e i + K e 2 K e x + X 5 C 2 



(Jedes System gleich dem mit X' = — X 1; X£ = X 2 , X' 3 = — X 3 , X' 4 — X 4 , X 5 = — X 5 und gleich dem 



—X, , v /)7~^T m 1,. — Xf + X, — X, ., X.+2X.,— X' 

 reziproken mit X', = _j_ , X> — — V A 2 \ X' 3 = — , X 4 — *- ±, X' 5 = -3 _i_ 5 



V — X 3 — X 3 X 3 x 3 V — X 3 



So ist der Fall, daß g 2 Einheiten, g x 3 Einheiten enthält, erledigt. 



