Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 293 



3. g mit drei Einheiten, g x mit zwei Einheiten. 



Entweder existiert ein Produkt aus zwei Zahlen aus g x , das ist, oder nicht. Im ersten Falle kann 

 es ein Produkt aus zwei verschiedenen Zahlen oder ein Quadrat sein. Im zweiten Falle kann das System 

 erstens kommutativ sein, dann ist es: 



oder zweitens nicht kommutativ, dann ist es: 



e i \ e i + \e 2 + \ e s 



Durch e 3 = e 2 + e 3 , e 2 = e 2 , e x = e x kann man dieses System in e x und e 2 kommutativ machen; dann ist 

 e 3 einzig. Das Untersystem der (e v e 2 ) kann 



sein. 



Wir erhalten also: 



e x oder e x e 2 

 e 2 e 2 



e x e 2 und e x e 3 

 e 2 + e 3 e 3 ^ e 3 e 2 



welche verschieden sind, da im ersten eine Zahl, zum Quadrat erhoben, e 3 gibt. Wir haben folglich die 

 Systeme: 



(gleich dem reziproken), 



(gleich dem reziproken), 



e 3 



e 2 ~^~ e 3 e 3 



\e 3 e 2 



(gleich dem System mit V — — und dem reziproken). 



h 



4. Scheffers'sche Systeme. 



Für drei Einheiten haben wir den Fall erledigt. Für vier Einheiten bleibt noch der Fall übrig, daß 

 g eine Einheit, g x drei Einheiten enthält, die anderen sind schon behandelt worden. Nach einem früheren 

 Beweise existiert wenigstens eine kommutative Zahl. Gibt es drei solche, so ist das System 



e x 

 e x 

 e x 



Gibt es nur eine, so kann sie, zum Quadrat erhoben, oder e x geben. Im zweiten Falle können wir 

 als Untersystem der (e 3 , e 4 ) 



c x 

 \e x 



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