



% 



\e 3 











H 



~H 



% 



Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 295 



diesen Produkten die Einheiten — so folgt, daß e 2 nullfaktorial sein muß, da e\ nach einer früheren 

 Bemerkung gleich ist. 



Für IIa und b ist, wenn e 3 die vorkommende Einheit von g 1 ist, das Untersystem von e i und e 5 in 

 e 3 entweder: 



oder 



Im ersten Falle ergibt 445, 454, 455, 545, im zweiten 445, 544, 545, 455, daß e 3 nullfaktorial 

 sein muß. 



Jetzt betrachten wir den Fall II c) 



Nach Satz VII haben wir folgende verschiedene Fälle: 



1. e 2 2. e 2 e 2 3. e 2 4. e 2 5. e 2 e 3 — e 2 



\e 2 e 3 — e 2 e 3 e 3 ? 3 ^3+^2 ^ e 2 



Wir setzen die Assoziativität an für: 444, 445, 454, 455, 544, 545, 554, 555. Das ergibt im Falle 1: 

 42 = 24 — 0, 53 = 35, 52 = X 25, 34 = X 2 25, 43 = 25 =^ 0. 



Erlaubt sind noch die Transformationen e 3 — e 3 + a e 2 , e 5 — e 5 + b e^ mit a — b (X + 1). Als Bedin- 

 gung dafür, daß e 3 e- =. e b e 3 =. gemacht werden kann, erhalten wir X 2 = X + 1 =j= 0. Ist also X = s, so 

 kann 35 nicht zu reduziert werden, wohl aber zu 1 und es bleibt für jedes b unverändert. Ist Xz^s, so 

 kann man 35 = machen und es ist keine Transformation mehr erlaubt. 



Nach Satz V muß, damit das System den Grad 3 habe, 4 3 = 0, 5 3 = 0, 445 + 454 + 544 = 0, 

 455 + 545 + 554 = sein. Das gibt 35 = und, da 25=)z0, X = s. Dies ist der einzige Fall, welcher ein 

 System vom Grade 3 gibt. 



2. gibt aus 444, 445, 544, 454 ; 24 = — 24 = = 42 = 52 = 25, also ist e 2 nullfaktorial. 



3. gibt 24 = 42, 35 = 53=)r0, alle anderen Produkte — 0. 



4. Gibt 24 = 43, 52 = 35, alle anderen Produkte = 0. 



5. gibt folgende acht Gleichungen: 42 = 24, 25 = 43—42, 34—24 = 43 + 42, X42 = 35—25, 

 34 + 24 = 52, 35 + 25 = 53—52, X 24 = 53 + 52, X 25 = X 52. Diese geben X 24 = 0, 34 = —43 = 24 = 42, 

 —25 = + 52 = 2X24, 35 = 53 = (X — 2) 24. Der Fall XdfzO ist ausgeschlossen, denn dann wäre e i null- 

 faktorial, also ist X = und 35 = 53 = —2x24- 



Im Falle I ist e 5 einzig, also können wir immer e\ als eine Einheit von g t nehmen und diese ist dann 

 die einzige vorkommende Einheit. 



\ä) gibt nur 



b) gibt 



e t 



«u + b u a 12 + b 12 



e x a 21 + b 21 e 3 



Nach früheren Sätzen ist e i = d 3 e 3 -h d± e±, also e\ ■=. e\. Folglich haben wir drei verschiedene Fälle, 

 je nachdem e\ = 0, e x oder ^ze ± ist, also gleich e 2 genommen werden kann: 



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