§ 3- Systeme mit mehr als einer idempotenten Einheit. 



Diese Systeme wurden vom Herrn Hawkes (Math. Ann., Bd. 58, p. 361) erledigt; die Theoreme, 

 die er benützt, enthalten aber ein Versehen und zwei seiner Systeme sind überflüssig. 



Bei Theorem VI, p. 369, ist zuerst nicht bewiesen, daß die verkürzten Transformationsgleichun- 

 gen wirklich Gleichungen zwischen n — 1 Einheiten sind, zweitens: daß sie eine lineare Transformation 

 bilden — daß die Determinante nicht verschwindet — drittens: daß, wenn auch die beiden ersten Bedin- 

 gungen zutreffen, die verkürzte Transformation die zwei verkürzten Systeme wirklich ineinander über- 

 führt. Alle diese drei Punkte erfordern einen separaten Beweis. 



Zur Berichtigung dieses Theorems muß man einige Einschränkungen in seiner Gültigkeit vornehmen. 

 Zuerst muß man beachten, daß die beiden verkürzten Systeme assoziativ seien. Das geschieht gewiß, 

 wenn man nur Einheiten wegläßt, die nullfaktorial sind in bezug auf alle nicht idempotenten Einheiten, 

 oder wenn man um eine ganze Gruppe einer idempotenten Einheit verkürzt (vergl. Satz V, p. 369). 

 Handelt es sich um eine Gruppe IV, so kann man entweder die ganze Gruppe, die alle anderen idem- 

 potenten Einheiten enthält, weglassen oder auch eine oder mehrere von diesen idempotenten Einheiten 

 behalten. In der Tat kommen diese Einheiten in der Produktentafel nur in ihren Quadraten vor, sie haben 

 also keinen Einfluß auf die Produktbildung der anderen Einheiten. Die in dieser Weise verkürzten 

 Systeme brauchen nicht irreduzibel zu sein, sie besitzen aber, wenn alle idempotenten Einheiten erhalten 

 bleiben, einen Modul (Hawkes, Trans, of the Am. Math. Soc, Bd. III, Theorem VI, u. ff. Bemerkungen). 

 Siehe auch für fernere Bemerkungen den Nachtrag. 



Es müssen weiter, damit die verkürzte Transformation notwendig eine nicht verschwindende Deter- 

 minante habe, alle unabhängigen Zahlen, die eine charakteristische Eigenschaft haben, weggelassen 

 werden. Nur wenn eine Einheit einzig ist, darf man sie allein weglassen. Eine idempotente Einheit ist 

 gewiß einzig, wenn sie eine für sie allein charakteristische Gruppenverteilung der anderen Einheit 

 besitzt. Sonst kann man sie aber nicht allein weglassen, es müssen zugleich alle idempotenten Einheiten 

 mit derselben charakteristischen Eigenschaft gestrichen werden. So auch wenn eine Gruppe in bezug 

 auf eine Einheit weggelassen wird. Ist die idempotente Einheit einzig, so ist es für eine nullpotente Ein- 

 heit charakteristisch, in eine Gruppe in bezug auf sie zu fallen ; ist aber die idempotente Einheit nicht 

 einzig, hat sie aber eine charakteristische Eigenschaft mit k und nur k solchen Einheiten gemein, so muß 

 man, wenn man zum Beispiel die Gruppe I in bezug auf eine dieser Einheiten wegläßt, zugleich die Gruppe I 

 in bezug auf allen anderen k — 1 Einheiten weglassen. Dasselbe gilt für die nullfaktorialen Einheiten: läßt 

 man eine in bezug auf allen nicht idempotenten Einheiten nullfaktoriale Einheiten weg, so muß man alle 

 anderen weglassen. In den beiden Hawkes'schen Fällen 5 4 und 6 4 ist die erste Einheit nicht einzig, weil 

 e 1 und e 2 nicht einzig sind, man darf also nur e x und e 2 zusammen, nicht e x allein weglassen. In der Tat 

 geht 6 4 . 2 in 6 4 . 3 über durch: e t = e 2 , e 2 z=e v e s =e 4 , e i =:e 3 , e-=e 6 , e 6 -=ze 5 und 5 4 .2 in das zu 5 4 .3 

 reziproke System durch: e x =: e v e 2 = e 2 , e„ = e v £ 4 = e 3 , e 5 z=e 6 , e % — e h . Handelt es sich um eine 

 Gruppe IV, so kann man nur die nullpotenten Einheiten dieser Gruppe weglassen, weil in der Scheffers' 

 sehen Form das Nullpotentsein eine charakteristische Eigenschaft ist. 



Endlich muß die verkürzte Transformation die beiden verkürzten Systeme ineinander überführen. 

 Dies trifft gewiß zu, wenn man nur nullfaktoriale Einheiten wegläßt, weil diese auf die Produkte keinen 

 Einfluß haben; es trifft auch zu, wenn eine ganze Gruppe in bezug auf eine Einheit weggelassen wird, 

 weil diese Eigenschaft charakteristisch und additiv ist; es kann also eine transformierte Einheit nur aus 

 Einheiten derselben Art bestehen. Werden alle idempotenten Einheiten, die eine bestimmte charakteri- 

 stische Eigenschaft haben, weggelassen, so sind die verkürzten Systeme auch gleich, weil diese nur eine 

 Permutation unter sich erlauben. Es ist also der obere Satz nur für diese Fälle sicher richtig. 



