300 Dr. Guido Voghera, 



Aber die ganze Methode ist nicht so einfach, wie sie p. 370 dargestellt wird. Denn nehmen wir auch 

 an, daß nach dem berichtigten Theorem VI es möglich sei, e y und e r wegzulassen — sonst müssen wir 

 zugleich mehrere Einheiten weglassen — und verkürzen wir das System um e v dann bekommen wir 

 ein System, wo überall e x mit irgendeinem Parameter vorkommen kann. Nun verkürzen wir um e r ; da 

 bekommen wir ein System in n — 1 Einheiten, aber nicht alle Systeme in n — 1 Einheiten werden sich in 

 diese Form bringen lassen, es sind also nicht alle Systeme in «-— 1 Einheiten wie beim ersten Schritte 

 als Untersysteme anwendbar und schon diese Unterscheidung gibt bei größerer Anzahl von Einheiten 

 eine erhebliche Mühe und es läßt sich dafür keine allgemeine Regel geben: man muß alle Systeme ver- 

 suchen. Zweitens kommen in den Multiplikationstafeln von e r nicht die neuen, sondern die alten e v e 2 . . . 

 e,._i vor und, um sie auf die neuen zu reduzieren, ist man gezwungen, die Parameter der linearen Trans- 

 formation einzuführen; um Parameter wegzuschaffen, führt man also neue ein. Die Methode ist also nur 

 für eine kleine Anzahl von Einheiten brauchbar, wo nur eine Verkürzung nötig ist, oder auch bei mehreren 

 Verkürzungen, wenn die Untersysteme sich sehr einfach gestalten, und die Überführungstransformationen 

 übersichtlich und leicht zu finden sind. 



Für die Auffindung der charakteristischen Gleichungen der Hawkes'schen Systeme wende ich die 

 Methode der Verkürzung um die erste Einheit an (Scheffers, M. A., Bd. 39, p. 314 bis 316). Die erste Ein- 

 heit war schief bei allen Systemen mit Ausnahme von: 2 3 , 4 4 , 6 4 ; aber für2 3 .2, 4 4 .3, 4 4 .4, 6 4 .4 kann 

 man eine andere schiefe Einheit als erste Einheit nehmen. Für den Fall 2 3 . 1 erhält man nach Verkürzung 

 um die erste gerade Einheit die zwei Möglichkeiten: 



(x — x± s) 2 (x — x b z) (x — x 6 e 6 ) oder (x — # 4 e) (x — x 6 s) (x — x 6 e); 



wählen wir aber x 2 gleich 0, so bekommen wir genau die Zahlen des reduziblen Systems, das aus IV 2 

 und der Einheit e e besteht, und dieses hat wenigstens eine Zahl für die die zweite Gleichung nicht Null 

 wird. Man muß sich also für die erste entschließen. Analog habe ich die anderen Fälle, ausgenommen 

 4 4 .2, erledigt. Für diesen letzten Fall bekomme ich entweder 



(x — # 5 e) 3 (x — x 6 s) oder (x — x b s) 2 (x — x 6 s); 



wähle ich in diesen Ausdrücken x 2 gleich 0, so verändere ich sie nicht, denn die einzigen Produkte mit 

 e 2 , die nicht verschwinden, sind die, die nur einen Faktor e 2 und sonst nur Faktoren e h enthalten, und kein 

 Produkt hat mehr als einen Faktor e 5 . Es kann also x 2 ohne Veränderung der charakteristischen Gleichung 

 gleich vorausgesetzt werden und, da V 12 die zweite charakteristische Gleichung hat, so hat sie auch 

 unser System. 



Eine Äquivalenz des Systems mit seinem reziproken kann man sofort ersehen aus den Gruppen- 

 tafeln p. 371 und 373. Nur in den Fällen 2 3 , 8 3 , 9 3 ; 5 4 , 6 4 , 9 4 , 10 4 , 11 4 ist nach Vertauschung von III mit 

 II die Überführung des Systems in sich selbst möglich und in der Tat ist sie auch ausführbar, aus- 

 genommen für den Fall 5 4 .2 (5 4 .3 und 6 4 .2 sind gestrichen worden). 



Endlich möchte ich diese Gelegenheit benützen, um zu bemerken, daß die Scheffers'schen Systeme 

 V 15 nicht in ihre reziproken überführbar sind und noch weniger durch die angegebenen Transformationen; 



ein System mit dem Parameter X ist gleich dem reziproken mit dem Parameter — ; der Fall X =r ist aus- 

 gezeichnet, weil kein reziproker in ihn überführbar ist, wenn man nicht irgendwie Systeme mit Para- 

 meter — definieren will, wie schon geschehen ist. 



Noch scheint mir der Beweis von der Einteilung der Einheiten in Gruppen (p. 365) nicht genügend zu 

 sein. Die Einheiten e 5 , e e . . . . brauchen nicht in diese Gruppen von selbst zu fallen; es ist auch möglich, 

 daß sie sich wie die anderen Zahlen in vier verschiedene Zahlen teilen, von denen jede einer Gruppe 

 gehört. Der strenge Beweis von der Möglichkeit, die Einheiten so zu wählen, daß sie in eine Gruppe fallen, 

 ist der Peirce-Hawkes'sche (Trans, of the Am. Math. Soc, Bd. III, Einleitung und Satz I). S. Nachtrag. 



