Nachtrag. 



Über die Scheffers'schen vj-Einheiten. 



Zweck dieses Nachtrages ist die Berichtigung eines Satzes von Scheffers, 1 welcher für die ganze 

 Theorie der Aufstellung der Zahlensysteme von grundlegender Bedeutung ist und dessen Ungültigkeit 

 die Richtigkeit der von Scheffers und Hawkes aufgestellten Tafeln hätte beeinflussen können. Es 

 lassen nämlich die ^-Einheiten nicht nur eine Permutation untereinander, sondern auch einige Trans- 

 formationen mit den ^-Einheiten zu. Es ist mir aber gelungen, für Nichtquaternionsysteme eine merk- 

 würdige Eigenschaft der neuen Transformationen zu beweisen, nämlich daß sie keine neuen Systeme 

 liefern, das heißt, daß alle verschiedenen Formen eines Systems, die aus ihnen hervorgehen, auch 

 durch eine Permutation der yj-Einheiten allein erhalten werden können. 



Bei dieser Gelegenheit werde ich gezwungen sein, einige andere Sätze zu beweisen und auf diese 

 Weise die Untersuchungen von Hawkes und Scheff ers zu vervollständigen und strenger zu begründen. 



Fassen wir ein assoziatives distributives System in «-Einheiten mit oder ohne Modul ins Auge, so 

 heiße es nullfaktorial, wenn eine Zahl % (seine Ordnung) existiert, so daß alle Produkte von x + 1 

 Faktoren verschwinden, aber nicht alle von x Faktoren; nullpotent wenn eine Zahl [i, (der Grad) 

 existiert, so daß alle \i + l ten Potenzen verschwinden, nicht aber alle jj. ten . Sei n die Anzahl der Einheiten, 

 dann gilt der 



Satz I. Notwendig und hinreichend, damit ein Zahlensystem nullfaktorial sei, ist, 

 daß es nullpotent sei, und dann gilt die Ungleichung [i^x^n. 



Aus der Definition folgt, daß ein nullfaktoriales System auch nullpotent ist, und [x^Sx. 



Ich beweise jetzt einen Hilfsatz: 



Sind m sukzessive Produkte von Zahlen eines Systems linear abhängig, so existiert im System eine 

 Zahl, von der keine Potenz verschwindet. 



Seien die sukzessiven Produkte 



b 1 — a v b 1 = a x . a 2 , b z = a^ . a 2 . a s , . . . . b m = a ± . a 2 a m 



von verschieden und sei die lineare Relation 



a x b x + a 2 b 2 + . . a m b m — 0. Das erste a, welches ^:0 ist, sei a v , so ist 



& v zz a' v + i & v+ i + . . . a! m b m 

 oder 



b., = b. t (V v+ i a v+i + . . . al m <h+\ ■ ■ • a m) = b^.a 

 ad^zO, weil b,z%z0, folglich 



b, t z- l\ a — b. t a 2 r= b., a ?> = . . . b. t a'- wo a A z}z 

 immer aus demselben Grunde. 



Daraus folgt, daß weder x noch fj, > n sein können, denn in diesem Falle wären die n + 1 sukzessiven 

 Produkte — die Potenzen sind Spezialfälle von Produkten — gewiß linear abhängig; es wäre also in diesem 

 Falle das System weder nullpotent noch nullfaktorial. 



i A. a. 0. p. 330. 



