Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 319 



Es folgt aber auch, daß jedes nullpotente System nullfaktorial ist; denn wäre es dies nicht, so 

 würde wenigstens eine sukzessive Reihe von n + 1 nicht verschwindenden Produkten, also eine nicht 

 verschwindende, beliebig hohe Potenz existieren. 



Die zwei am Anfange definierten Begriffe decken sich also vollständig. 



Satz II. Notwendig und hinreichend, damit ein System nicht nullpotent (nullfaktorial) 

 sei, ist, daß keine Zahl -q 2 — -q existiere. 



Falls eine solche existiert, ist es klar, daß das System nicht nullpotent ist; umgekehrt haben wir 

 eine beliebig hohe, nicht verschwindende Potenz einer Zahl a, so existiert gewiß eine lineare Relation 

 der Form: 



a^ä 1 + fl v _|_i a y+1 ■+- . . . av +K d'+* = a. h a v+y .=J=0 



(zwischen u + 1 beliebigen muß eine solche Beziehung existieren), also 



a v+x =z a'., a'' -f . . . #'+*— i a v+x ~ 1 

 daraus 



a»+«+i — ai W+ 1 + . . . ai +x _i a''+ y - = V t a > + ... &£ +5t _i a'+ y - i 



usw. Setzen wir <3 V = &=J=0, so muß zwischen b, b 2 . . & x + 1 eine lineare Gleichung bestehen. Ist in 

 dieser der Koeffizient von b, b 2 ,. . . b* gleich 0, während jener von b^ +1 verschieden von ist, so erhalten 

 wir eine Beziehung zwischen % — \x Potenzen. Setzen wir b p -+ 1 = c und wiederholen wir das Verfahren 

 so lange, bis die Koeffizienten der ersten Potenzen gleich ausfallen. Da die Anzahl der Potenzen sich 

 immer vermindert, wird man in diesem Falle endlich auf eine Beziehung % x p + tt 2 p 2 =z stoßen, 

 wo weder % 1 noch tt 2 gleich sein können. Begegnet man aber schon früher einer Beziehung der Form 



jjLj_ in + f/, 2 m 2 + . . . |x : m- = 

 wo \x x 4= 0; so ist 



m = ji,2 m 2 + . . . \h' r m r = m (\X2 m + [X3 m 2 + . . . \i' r m r ~ l ) = m.-q -q z^z 



[A2 m = [X2 wi • ~q 

 ^m 2 = \).3in 2 .-q 



pfy m r ~ 1 = \i! r m Y ~ x . -q durch Addition 



■q= 7].7) = 7] 2 



Ist nun das System nullpotent, so ist es möglich, es in lauter Gruppen — wie in der vorhergehenden 

 Arbeit bewiesen — zu zerlegen. Besitzt dagegen das System eine idempotente Zahl a, so definieren wir 

 vier Operatoren in bezug auf diese Zahl 



Operator 1. a#a 



» 2. x a — a x a =z [x — ax] a 



» 3. a x — a x a = a [x — x a] 



» 4. # — a,r — x*y. — axa 



x ist der Operand, welcher eine Zahl des Systems ist, eventuell auch die allgemeine Zahl des Systems. 



Haben wir mehrere idempotente unabhängige Zahlen *q v -q 2 ,. . .-q,. von der Eigenschaft r] t Y] x = 

 ir|zx, so bedeutet u av a2 ,. . . ar , wo a v a 2 ,. . .a eine Variation r ter Klasse der Zahlen 1,2,3, 4 ist, das 



Resultat der Operation a v auf eine Zahl n mit y] x ausgeführt, auf das Resultat die Operation a 2 mit yj 2 

 usw. 



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