320 Dr. Guido Voghera, 



Satz III. Die Reihenfolge dieser vier Operationen ist gleichgültig. 



Es genügt zu beweisen, daß eine Transposition erlaubt ist; betrachten wir « t)X , das heißt, n operiert 

 mit dem Operator-, in bezug auf a und dann mit x in bezug auf ß, a? =z a, ß 2 =z ß, aß = ßazz0 und 

 « X)l , das heißt, die Operationen in der umgekehrten Reihenfolge ausgeführt, und seien für 



die vier Funktionen: s — 1 2 3 4 



X (s) = 1 



|t(s) = 1 —1 



v (s) = 1—1 



i( S ) - i-i-i -i 



so ist 



Ui = X (i) x + [x (i) x a + v (i) a x + i (i) a # a 



« c> x =z X (x) X (i) x + X (x) (X (i) # a + X (x) v (t) a x + X (x) £ () a ,r a + [x (x) X (i) # ß + |x (x) v (t) a x ß + 



+ v (x) X (t) ß x + v (x) [x (t) ß x a + g (x) X (i) ß * ß 



Vertauschen wir i, x und a, ß, so bekommen wir dasselbe Resultat. 



Satz IV. Ua v a a , ist gleich 0, 



I. wenn ein a* — 1 ist und nicht alle übrigen = 4, 

 II. » » a.,_ z=. 3 » » » » » == 2 oder 4 



III. » » ci-i ^^ 2 » » » » » ^^ 3 » 4 



sind, da zum Beispiel, wenn ein a K =. 1, diese Operation zuerst ausgeführt werden kann und sich ergibt 

 7] x w r] x und, wenn wir auf diese Zahl eine andere Operation ausführen, die nicht 4 ist, bekommen wir 0. 



Von Null verschieden sind also möglicherweise : 



die Ua it ... a , wo ein Index gleich 1 ist, die anderen 4 



» » » » 2 » ein zweiter 3, alle übrigen 4 



» » » » 2 » alle übrigen 4 



» » » » 3 » » » 4 



» alle Indices » 4 sind. 



Satz V. Notwendig und hinreichend, damit eine Zahl u % als Resultat der Operation x 

 mit der Zahl a aufgefaßt werden kann, ist: 



f ür x — 1 daß u t a — a. u^ — u x G r u p p e I 



= 2 » M 2 a = ll 2 , a. U 2 = » II 



= 3 » « 3 a = 0, a u 3 — u 3 . . . . » III 



= 4 » « 4 a = «» 4 = » IV 



Denn ist 



u.,_ — X (x) a + [X (x) ,ra + v (x) ax + £ (x) a # a 

 so ist 



« K a = [X (x) + (x (x)] x a -h [v (x) + g (x)] a x a 



a « x = [X (ss) + v (x)] a ,r + [[x (sc) + h (st)] a -v a 

 woraus sich der erste Teil des Satzes ergibt; gehört dagegen u zur x ten Gruppe, so ist 



n % — X (x) u + [x (x) [x a + v (x) a « -f £ (x) a #■ a = w 

 für jedes x. 



