Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 321 



Es ist also ein charakteristisches Merkmal, für eine Zahl das Resultat einer solchen Operation in 

 bezug auf eine bestimmte Zahl zu sein, und insbesondere gibt die zweimalige Wiederholung derselben 

 Operation in bezug auf dieselbe Einheit wieder dasselbe Resultat. 



Da jede Operation als zuletzt ausgeführt betrachtet werden kann, so folgt, daß die Reihe der 



Indices einer Zahl u ai , a a, eine charakteristische Eigenschaft der Zahl ist. u ai>a .,,...a hegt in der 



a^ en Gruppe in bezug auf y] 1 , in der a 2 tsn in bezug auf -q 2 usw. 



Satz VI. Es kann keine lineare Beziehung unter von verschiedenen u ül ,a..,...a 



bestehen. Jede lineare Form von u aii a a mit gleichen Indices gibt wieder eine Zahl 



derselben Art. 



Der zweite Teil des Satzes ist aus der Gruppendefinition klar. Nehmen wir nun an, daß es unter 

 w fll) a „, ...a Ma{,a&,...a ( a U e von verschieden) eine lineare Beziehung der Form Sa» Q1 , a2 ,... a , — 

 bestehe, und nehmen wir an, daß alle a v a 2 , ...a (i _i gleich seien und daß die ersten verschiedenen 

 die a^ seien, multiplizieren wir links und rechts mit •/],,., so bekommen wir (da. die Operationen mit tj,,. 

 als die zuletzt aufgeführten angesehen werden können) S ^««„a,,...« —1 \,a +1 ...a r — 0; subtrahieren wir 

 diese lineare Beziehung von der oberen und multiplizieren wir rechts mit r^, so erhalten wir 



durch Subtraktion und Multiplikation links mit f]^ erhalten wir 



SoCgW^fl., ...a, l _ lj 3 ) a |l+lj ...a r =0 



und endlich durch Subtraktion bleibt 



^ a 4\"» •■■« 1 i-l, 4 'VK, ■•■« r — 0. 



In diesen Summen ist auch der fi, te Index gleich und wir können immer weiter und weiter so schließen, 

 bis der Satz bewiesen wird. 



Satz VII. Ii u av a2 , aB , . . , ar , über alle möglichen Indices erstreckt, gibt die Zahl u, wovon 

 man ausgegangen ist. 



Sei a. irgendeine idempotente Zahl, so folgt aus der Definition a y + u 2 + u 3 + u± — u also: 



•^ ^a„ a-,, . . -a r _\ a r — ^ ^a„ a.., . . -a Y _y 



"a\ 



11. 



a it a,,...a r — \,2,Z,4: a v a 3 ,...a r _ i = 1, 2, 3, 4 a, = 1, 2, 3, 4 



Die Verteilung der u in Gruppen u av . . . a ist folglich eindeutig, denn sonst würde eine lineare 

 Beziehung zwischen den u av . . . a bestehen. 



Definiere ich jetzt: 



C7i )X , i, % =z 1, 2. . .r heißt eine Zahl, die sich in der Form 7] t uy\ y _ darstellen läßt, 

 C/ t; r+ i heißt eine Zahl, die sich als ^it' darstellen läßt, wo a) 't] x zz 

 f/ r _l_i jt » » » » » » u" ' r] t » » » ^«"zzO 



Ur+x^+x » » » » » » u'" » » » f\iU m zz u"' t\ % ■=. 



für x= 1, 2. . .r, so gelten für diese Zahlen die Multiplikationsregeln, die die Einheiten der ursprüng- 

 lichen Peirce-Molien'schen Systeme befolgen; in der Tat ist 



U l)% . U^ zz U %i v oder 0, wenn % zz ja 



ZZ 0, » 5t zf= JX 



ist. 



