322 Dr. Guido Voghcra, 



Es gilt nun 

 Satz VIII. £/ tjX ist identisch mit u ai ,. . .„. und zwar: 



wennt^x, i, x = 1, 2 . . . r w enn a^ — 3, a x rr 2, al 1 e üb ri gen a = 4 



l nz % » » # t — 1 » » 



x = r + 1 t = 1, 2 . . . r » a t =: 3 » » 



i = r -+- 1 x = 1 , 2 . . . r » a % = 2 » » 



x = i = r + 1 » a 1 1 e a — 4. 



Daß jedes U, r/ _ auch ein u av - ■ -ar ist, folgt aus der Definition, da L\. A in der a r ten Gruppe in bezug 

 auf vj, und in der <z x ten in bezug auf yj x , in 4 in bezug auf alle anderen steht. ü7 t)X = (£/ t)X ) fll ,. . . flr ; « 13 - • -« r 

 mit den vorgeschriebenen Werten. 



Umgekehrt ist 

 falls 

 falls zum Beispiel 



W(j, j er.) • ■ • a r — (Wfl, , . . . a r ) a ^ üy — ty U a -yj • • • a r \ 



i, x djp r + 1 ; 



t — r 



+ 1, X=j=r+ 1 (X,,,. . . a) .) az = «fa 1 ,..-rt r ^x 



Da aber alle a = 4 sind und a x rr 2, gibt u av . . . a mit allen -q Zahlen links multipltziert 0. Und so beweist man 

 leicht die anderen Fälle. Insbesondere ist eine Zahl U dann und nur dann ein £/ 1]X , wenn -q, U-q v _ — U, da 



Ui * = fl, U Y]„ = Y] l 7], M 7] x 7] x = Yj t [7 t| x Y] x . 



Besitzt das System einen Modul so kann es nur einen besitzen, denn, wären [x und \x! zwei von 

 diesen, so müßte 



|x jx' = ;x z= |x' sein. 



Satz IX. Notwendig und hinreichend, damit ein Modul existiere, ist, daß entweder 

 U it r _|_ i = U r +\, i = Ur+i, r+i = sind oder daß £/ r +i, r +i eine solche Einheit 7] r+ 1 besitze, so daß 

 U r+l} .,. in die IL Gruppe, C/ l? r +i in die III. Gruppe, U r +\, r -\-i in die I.Gruppe, alle übrigen U i>K 

 in die IV. Gruppe in bezug auf 7j,- + i gehören. Unter U i>K sind hier die Resultate der ent- 

 sprechenden Operation en auf die allgemeine Zahl x des Systems verstanden. 



In diesem Falle ist 



Tji + 7] a . . . + -q r 



oder, wenn 7] r+ i existiert, 



iJi + V-- . +V+i 

 ein Modul, also ist eine der beiden Bedingungen hinreichend. 



Nehmen wir nun an, daß ein Modul existiert. 



Sei u — S « t) x 7]i « Yj, = Y] t , also w t; t = 7] t 7] t « -/] x = 0, also u i; x = für t, x = 1 , 2 . . . r 



i,* = l,...r+l 



u — 7] 1 + Y]g -+-... v]r + «t, r +i + »r+i,* + [V+i, r+ i u 7] x = 7j x , also fv+i, x = 7j t w = Y] t , also « t> r+ i = 0. 

 Jetzt entweder 



«r+i, y+ i = oder r|= = fy+i. 



