Irredtizible komplexe Zahlensysteme. 323 



Im ersten Falle ist 



auch für 

 Ist dagegen 

 so folgt: 



U h r +i [i = U, >r+ x —0 (X f/ r+ i, x — U r+ i t * — 



X = f+ 1. 



n r+ t, r+ i = 7] r+ i 



[X 7] r+ i = Y]r+1 = '/] 2 r+l da 7],-+i . 7]* ~ M,- + i, r+1 Y] x = 0, % =f= Y + 1 



C^r+1, j+1 [- 1 = ^r+1, r+1 ty'+l — ^r+1, r+1 



jx £/",-+ 1, ,- + i z=-/],. +1 C7,- + i, ,-+i = U r+ i, ,-_i_i etc. 



Wenn keiner der beiden betrachteten Fälle eintrifft, so besitzt das System keinen Modul, man 

 kann aber, um einen solchen zu bekommen, die Einheit i\ r +\ 



7J, 7J r+ l = Y] r+ l 7]i = 0, 7] 2 r+ l = 7] r+] 



adjungieren, so daß 



"Ir-fl ^r+1, r+1 — £^r+lj r+1 "fy-+l — ^r+1, r+1 

 T]r+1 U r+ \ t y, = U r +\, x ; £/,-+!, x T]r+1 — 

 7] r+ l £/ t , r+ i = 0, U t , r+ \ 7J r+ i = £/ t , r+ i. 



Die Assoziativität wird durch diese Adjunktion nicht gestört, weil die Produkte, wo kein yj,- + i ent- 

 halten ist, unverändert bleiben und die Produkte 



Tfjr+l u i, x %, (i, «i, x «X, |i V]r+1 ! **i, x 'fy-+l %, |i 

 T] 2 r+1^, x, »t,* V] 2 ,- + i 



assoziativ der Definition nach sind, darj r+ i entweder unverändert läßt oder zu reduziert, und zwar letzteres 

 wenn und nur wenn ungleiche Indices sich treffen. 



So sind alle nicht nullpotenten Systeme auf Systeme mit Modul reduziert. Für diese ist 



(-A, x — Ma\i 02' • • • a r 



wo für t^:xfl, = 3, a % = 2, für i = % a x = 1, alle übrigen a — 4 sind. 



Sei nun # die allgemeine Zahl eines Systems mit oder ohne Modul und wählen wir in dem System y 

 unabhängige -/]-Zahlen heraus (wenigstens eine muß existieren) 



* = U lt j + U 2 , g + . . . J7 r , ,- 4- t/ )+ i, r+ i 4- £/,, 2 + 



nehmen wir an, daß U r +\ ir +\ keine idempotenten Zahlen mehr besitzt, denn würde es eine solche ent- 

 halten, so könnten wir sie als neues y\ nehmen, da sie mit allen anderen -q nullfaktorial ist. Falls das 

 System einen Modul hat, so verschwindet U r+ i ir+ i. 



Nun kann in C7 t|t entweder die Yj t -Einheit allein enthalten sein oder es besitzt eine andere von -^ 

 unabhängige idempotente Einheit: 



a 2 = a, Y]f = 7] t 



(7] t — a) 2 z= 7j l — a Y] t — 7j ( a + a 2 = •/],— a a (ty— a) = (ty— a) a = 



a T)x = vj x a = x rjz i 



Wir können also die Einteilung in Gruppen nach 7j t rückgängig machen, wobei 



