324 Dr. Guido Voghera, 



U'r+i, r+\ = £/ r +i,,-+i + U,, ,-_|_i + U r +\, i+ f/ t| i 

 U r +X, x = C^r+lj x + ^i,x 

 C7 / X, r +1= ^X,r+l + üx,i 



wird, und dann die Einteilung sukzessive nach (yj c — a) und a vollführen, wobei 



^1> 1 ^2> 2 • • ■ ^—i. '— i ^i+i> i+i ■ • ■ ^n )-• • • 

 unverändert bleiben und nur 



"+l,r+l U r +i t x f/x, ,-+1 



sich in verschiedene Teile spalten. 



Dieses Verfahren ist aber nicht eindeutig, da in der Reihenfolge und in der Wahl der einzelnen 

 idempotenten Einheiten eine gewisse Freiheit vorhanden ist, was Herr Hawkes hier wie beim Beweise 

 des Theorems des Moduls nicht beobachtet zu haben scheint. 



Als Beispiel hiefür gebe ich das System der Quaternionen, worin e lv e 22 , aber auch e lx + e 12 , 

 e 22 + e 12 etc. als erste Yj-Einheiten genommen werden können, wobei man möglicherweise auf ver- 

 schiedene Formen des Systems kommen könnte. 



Am einfachsten gestaltet sich das Beispiel des Nichtquaternionsystems 



e x 



e x e 2 



e 3 

 welches durch 



"3 — ^3 "1 



in sich selbst übergeführt wird; es haben also nicht nur e 2 , e 3 , sondern auch e 2 + e v e s — e ± die Eigen- 

 schaften von Yj-Einheiten. 



Ich hoffe bei einer anderen Gelegenheit darauf zurückzukommen und die Beziehungen zwischen 

 verschiedenen Reihen von Yj-Einheiten für allgemeine Systeme wie auch die wichtigsten Sätze der Theorie 

 — wie zum Beispiel die Molien'sche Normalform etc. — ohne Anwendung der Gruppentheorie aus der 

 reinen Definition des assoziativen Zahlensystems ableiten zu können. Die gruppentheoretischen Beweise 

 sind noch zu kompliziert, damit man auf sie ohne weiteres bauen kann. 



Herr Shaws 1 ist zu denselben und noch weiteren Resultate als Molien gekommen durch Anwen- 

 dung der Theorie der Matrices auf die Zahlensysteme. Diese von Peirce herrührende Behandlungs- 

 weise führt zu einem sehr einfachen und eleganten Beweis des Poincare-Study'schen Satzes und zu 

 einer Normalform der Zahlensysteme, welche als eine Erweiterung der Molien'schen gelten kann. Die 

 Einführung der assoziativen Einheiten scheint mir aber keine große Hilfe für die Aufstellung der ver- 

 schiedenen Systeme zu gewähren, da Herr Shaws doch gezwungen ist, bei der Behandlung eines ein- 

 fachen Falles — wobei auch die Differentiation der Tafel nicht zu Ende geführt wird — auf die Bezie- 

 hungen zwischen den gewöhnlichen Einheiten, die schon von Starkweather herrühren, zurückzu- 

 greifen. Auch seine Beweise sind übrigens sehr umständlich. 



Ich gehe nun zur Betrachtung der Transformationen der Yj-Einheiten für Nichtquaternionsysteme 

 mit Modul über. 



i Trans, of the Am. Math. Soc, Bd. 4, p. 251 und 405. 



