Irrednzible komplexe Zahlensysteme. 325 



Seien zwei Reihen von Einheiten: 



e v e 2 . . . e r , -q v tj 2 . . . r Js 

 und 



e v e 2 . . .e p ,T\ v % y\ a 



und die entsprechenden Transformationen seien: 



e x = S a x , ,e. + l bx, L -q, *q x = lx Kl e,.+ Sjj/^ , vjj 



so ist bx, i für alle X und i Null, da die ^-Einheiten nullpotent sein müssen; folglich ist 



r = p, s — a. 

 Aus ?ix = *]>. folgt 



(2 *>., , e..) 2 + S *x, t j'x, x (e, Y) x + r Jx e t j + E^ x tj„ = E # Xj .. e. + EjKx, x tj„ 



oder jv>, 2 x =>'>., x für alle X und %. yx, x =r oder 1. Aus tj>. % = folgt 



S #X, i #n, x ^ ^x + £ % xj^X, i "fy <?x -4" £ #>., lJV, x e, Y]., + EjVx, ^ x f\, 7] x = 



also jj'x, x jV}t,« = für alle x, folglich, wenn jj\ x ^rÖ wäre, müßte _y (1) x für alle [x=f=X gleich sein, das heißt, 

 ist ein tj in einem t\ enthalten, so kommt er nie anderswo vor. 



Aber jedes t\ muß wenigstens ein t\ enthalten, da 



(£ x K t e,) 2 =}z £ # Xj t e t 



weil das Quadrat immer einer anderen Gruppe angehört als £.Tx, . e,_. Da s = a, muß jedes tJ ein und nur ein T] 

 enthalten: r\x = E #x, t ß t + 7]x und, wenn wir E «x, i £<. nach den vorher dargelegten Regeln durch die Operationen 

 in verschiedene Gruppen teilen, erhalten wir: 



7]x = v]x + £ «J; 



Es folgt also: 



Satz X. Die einzigen möglichen Transformationen, wenn das Nichtquaternion- 

 system seine Form behalten soll, sind: 



e x — £ a x , . e, tjx = tjx- + E « x x . 



Jetzt wollen wir zu einer normalen Form der Nichtquaternionsysteme kommen, die die Verallge- 

 meinerung der von mir in der vorhergehenden Arbeit gegebenen ist. 



Zu dem Zwecke teilen wir die Zahl x~x t e t +. . .x r e r durch die definierten Operationen in die 

 verschiedenen Gruppen 



X ~^- X^ } i + X^j 2 -T" . . . X 2 , 2 > • • • — ^ %i, x 



und nehmen aus jeder dieser Gruppen die größte nullfaktoriale Mannigfaltigkeit heraus; diejenige, die 

 zur x tj x gehört, sei mit X, i, x bezeichnet 



E AT^ i ; x = ATi. 



I, X 



Satz XL Gehört eine Zahl u=. S^, zu X v so gehört u h x ' zu X, t i )Jt und umgekehrt. 



Die Umkehrung ist selbstverständlich. 



Nehmen wir dagegen an, daß u nullfaktorial sei, aber daß irgendein tix, ^ nicht zu Ax, i, ^ gehöre, dann 

 gehört zu ihm eine Zahl E z/^,,, womit es multipliziert, ein von verschiedenes Resultat gibt. Es ist aber 



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