Irreduzible komplexe Zahlensysteme. 327 



X, ,,., x = T\: X lt fh x 7).,, 7) t =Z KJ t -+- S »^ T 



eine lineare Transformation, durch welche das System mit den vj-Einh ei ten in das mit 

 den ^-Einheiten übergeht. Das neue System ist auch in der Normal form geschrieben. 



Die Formel ist 



7j: X, t n, .. % — (Tj, + I » x \) #,, ^ x (7] x + S 7^* v ) = #., |t , x + 2 U } \ X, } ,,, x + X ^ x 2 Z*^ + X 7*^ X. t (1> y . «^ = 



X, 



H, x 



wo ,r--i j --i. x zu -XJ,._i gehört, aber nicht ein ar tj ji— 1, « zu sein braucht. 



Nehmen wir zuerst die unabhängigen ä\ 1, x = # t , 1, x für alle i und x, dann die unabhängigen 



J, 2, x = X, t 2, x + -V''' *' *■ 



Da x'> 1 '" / - von den vorher genommenen Zahlen abhängig ist und da die x\ 2, ■,. von den a?» 1 »* unabhängig sind, 

 hat die neue Mannigfaltigkeit x'-' 2 ' y - so viele untereinander und von den sämtlichen ä\i, x unabhängige 

 Zahlen, als in x\ 2, x enthalten sind. Die neu gewählten Einheiten gehören aber zu der Gruppe der 

 Operationen 1, x, wie aus ihrer Definition hervorgeht, und sie gehören zu X,,, also auch zu x v _, denn diese 

 Eigenschaft ist unabhängig von der Wahl der tj- Einheiten. Man sieht sofort, daß die Einteilung in Gruppen 

 in bezug auf die neuen Yj-Einheiten genau dieselbe ist wie die in bezug auf die rj-Einheiten. 



Nun kann man weiter zeigen : 



Satz XIII. Das mit der Transformation T erhaltene System hat formell dieselbe 

 Multiplikationstafel wie jed es andere System, das man aus dem ersten ohne Verände- 

 rung der ^-Einheiten erhalten kann, und im allgemeinen istjedes System mit der Tj-Ein- 

 heit formell identisch mit einem in der rj-Einheit. 



Sind zwei Systeme gleich, so gehen sie immer durch eine Transformation der e-Ein- 

 heiten allein (eventuell durch eine Permutation der r\) ineinander über. 



Betrachten wir das System, worin unser System durch die Transformationen : 



T^X :Z= ^]xj * l, JJL, X — Xi t j^ x (J]x ~f" U. A yj — #1, [)., X "+" X lt j ij y. U^ ^ i 



übergeführt wird, und bezeichnen wir die durch diese Transformation aus a sich ergebende Zahl mit al. 



Daß diese Formel wirklich eine Transformation liefert, ist aus einem dem oberen analogen 

 Beweise klar. 



Dieses System hat auch die Normalform, wie aus der Transformationsformel sich ergibt. Die 

 Produkte dieses Systems sind: 



X 1 ,, y., x . 4, v, X = #1, p, x (T]x + m X) \) • #«, v , x 0]x + « x ^) = [x m x (r] x + u^J ,r Xj , t ).]' 



Diejenigen mit den yf sind selbstverständlich. 



Das System, welches aus der Transformation T hervorgeht, hat die Multiplikationstafel: 



X, |i, x • Xtl, v, X = Tji #i, n, x T]x • T]x #x, v, \ -TJX = ty X lt ^ x T]x #x, v, X ^JX = 



= rj t X t) ^ x 0)x + S «^«P .r X) v , X TJX = TJl # t , p, x (7)x + « x * x ) *x, V, X TJX = 



#1, |I, X (-»jx + »„*„) «K, 



wo 5 der Resultat der Transformation T auf a bedeutet. Man sieht also, daß die beiden Produkttafeln 

 formell dieselben sind, 



44* 



