00 A. Dcfani, 



Die Gleichungen 4' und 5' sind identisch mit den früheren 3 und 4, wenn wir an Stelle von x die 

 Variable v setzen. Man kann demnach die vSchwingungsverhältnisse eines beliebig geformten Sees 

 mittels der Gleichungen 4 und 5 genau so untersuchen, wie wenn a (f) der Talweg des Sees wäre. 

 Die .Schwingungsform ist dieselbe wie die eines Sees konstanter Breite mit dem Talweg a (v). 

 Die Kurve a (v), die man aus den zwei Veränderlichen v, das ist die Oberfläche des Sees, von einem 

 Ende bis zum Querschnitt S{x) und o (v), das ist dem Produkt aus der Ouerschnittsfläche S{x) in die 

 Breite h {x) des Sees an dieser Stelle, erhält, nennt Chrystal die Normalkurve des Sees. Die 

 weitere Aufgabe der Theorie geht dahin, die Normalkurve mathematisch fixierbaren Kurven anzu- 

 schließen. Für die allgemeinsten Fälle wollen wir hier die Lösung angeben. 



i und Tj werden periodische Funktionen der Zeit sein; der Einfachheit halber sei u^P cos {n t -+- s), 

 dann gibt die Gleichung 4 für P die Beziehung 



6) 1 P = 0. 



d v^ grs (v) 



Es kommt daher in allen speziellen Pallien auf die Lösung dieser Differentialgleichung an. 



1. Die Normalkurve besteht aus Geraden. Dann kann stückweise o (y) = 7z [l — — gesetzt 



[ a) 



werden, wobei a konstant, positiv oder negativ-ist, je nachdem in der Richtung der zunehmenden x die 

 Gerade ansteigt oder abfällt. Die Differentialgleichung 6 hat dann die Form 



7) ^^ '!L_,P=0. 



gh (1 



a 



Setzt man 



2iia 



\/gh\/ 



d^-R 1 dR 



/, 



1 \t. 





1 h 



i — 



-- Ä = 



= U, 



dw- w dw 



\ 



w'- 





so geht Gleichung 7 in die Gleichung 8 über, welche die allgemeine Form der Differentialgleichung 

 der Zylinderfunktionen erster Ordnung ist. 



8) 



Die Lösung ist demnach i? = ^ J^ (w) -t- 5 Y^ {iv). A und B sind willkürliche Konstante. Die 

 allgemeine Lösung des Problems ergibt sich daraus durch die zwei Gleichungen ^ 



2a 

 ^ w = ^- [AJ^ (iv) -h BY^ (IV)] cos (iit -i- s) 

 h 



■q = [AJ„ [w) -h ß Yq (^'^) I cos (// / -f- s). 



Die Konstanten .4 und B bestimmen sich in den einzelnen Fällen aus den Grenzbedingungen. 



1. Fall. Die Normalkurve besteht aus zwei aneinanderstoßenden gestutzten Dreiecken (Fig. 1). 



Die Gleichung der Geraden BA und BA' lauten a (y) = // [ 1 ] , beziehungsweise o{v)^h[\ -^ — ) . 



aj ' \ a'j 



... ^(1 



1 15ei Chrystal steht in der üriginalabhandlung der Faktur —- in der zweiten Gleichung; dies dürfte ein Rechenfehler 



// 



sem ; denn dann ist die Beziehung 'i] = — nur bis auf einen konstanten l'^aktor erfüllt; die \'ernachlässigung derselben ist 



aber hier nicht eilaubt. Dadurch ändern sich in der Originaiabhandiung. zum Teil auch die folgenden Gleichungen für die all- 

 gemeine .\n\vendung der Lösung. 



