Analyse der Laplacesclieii Kosinogonie. ■ 393 



geben kann, hat nur dann reelle, positive Wurzeln, wenn 



c^ >- sin'^ fl-, 



und zwar sind die beiden positiven Wurzeln gegeben durch 



r ^ ^ / TU 1 sin -fl- 



— sin ■9- :;= 2 \J c cos — dz — arc cos 



Tq \ 3 3 6''/"- 



Ist demnach c^l, so sind sämtliche Werte ^, also geschlossene Kurven, beziehungsweise geschlos- 

 sene Niveauflächen möglich, während für c<l ein Grenzwert dg existiert, der durch sin^ö-g == c'/- 

 gegeben ist, so daß die Niveauflächen nicht geschlossen, physikalisch also bedeutungslos sind. 

 Aus 



, -^1 sinl^cos■8■ 

 dr 



rd^ . ,.,.„„ 

 sm- %■ 







TU 



erhält man die extremen Werte von r für ^ =: und ä- = — . 



2 



Als Polarachse, •& = 0, erhält man 



2 



R. =: — rr, und r =: oo. 

 3c ■' 



7C . 



Für die Aquatordimension, d- =r — , existieren nur für c > 1 reelle Größen, die gegeben sind durch 



i?o =: 2 r^ \/ c cos [ 1 arc cos — ;-- ] ,und 



i^i = 2 rn \/ c cos ( arc cos . 



" ^ i 3 3 6-V. j 



Setzt man \/ c ■:= , so sind diese beiden Werte 



y/ cos Y 



T T 



COS h \/ 3. sm — 



3 3 



ro i 



y^cos Y 

 Da . • 



COS h \/3 • sin — "^ JV COS Y 



3 3 > V 



3 



ist (die Ausführung ergibt die evidenten Ungleichungen 



2sin--Y^= VS'^O, 

 3 > 



wo Y im ersten Quadranten ist), so ist daraus ersichtlich, daß R^ < r^, R'q >- r^ ist. 



Die Meridiankurve besteht also im Falle c:> 1 aus zwei getrennten Zweigen: einem geschlossenen 

 mit den Hauptachsen R^ und R^, und einem Zweige, der die Äquatorachse im Punkte i?'^, schneidet 

 und asymptotisch gegen eine zur Rotationsachse parallelen Geraden verläuft. Der erstere liegt 

 ganz innerhalb, der letztere ganz außerhalb eines Kreises mir dem Halbmesser Tq. Offenbar hat nur 

 der erstere physikalische Bedeutung, 



