410 K. Hillebrand, 



o(F— n) 



+ w- X — 



+ (02j/ Z= 



r=0 

 Daraus ergibt sich als Gleichgewichtsbedingung 



hx 



5(F— n) 



8(F — n) 



wo R ■= \J x' -h y^ , der Abstand von der Rotationsachse, ist. 



Da rechts ein vollständiges Differential steht, so muß o) eine bloße Funktion von R sein. Führt 

 man statt dieser eine Funktion cp (R) von R ein durch die Definitionsgleichung 



d (D 

 (ü-iR = ^ 



dR 



so ist die Gleichung der Oberfläche dann gegeben durch 



V{x,y,z) + ^{R) ,-=:€. 

 Die Gleichung der Meridiankurve wird, wenn man für y :=.Q die Funktionsbezeichnung beibehält, 



U{x,z)-=V{x,z) + ^{x)=C. 



Vorausgesetzt, daß überhaupt eine Gleichgewichtsfigur möglich ist, muß für einen gewissen Bereich 

 der willkürlichen Konstanten C eine Schar geschlossener Zweige dieser Kurven existieren. Soll nun 

 die Möglichkeit einer Abströmung bestehen, so muß sich geometrisch das so äußern, daß der geschlossene 

 Zweig sich für einen bestimmten Wert der Konstanten C mit einem der nicht geschlossenen in einem 

 mehrfachen Punkt vereinigt und über diesen Wert hinaus dann dafür ein einziger nicht geschlossener 

 Kurvenzug besteht. Notwendige Bedingung ist also die Existenz eines reellen singulären Punktes, der 

 — so wie der zugehörige Wert der Konstanten — aus den Gleichungen 



X z 



?) TT 



folgt. Das NuUwerden der ,c-Kompünente -^^ — findet gemäß der vorausgesetzten Symmetrie in der 

 Äquatorachse, also für z =: 0, statt; das Verschwinden der ,v-Komponente bedeutet aber, daß sich 



X 



an dieser Stelle Attraktion und Fliehkraft das Gleichgewicht halten müssen. Dort wird also die 

 Abströmung einsetzen. Diese Bedingung kann auch so formuliert werden: faßt man die Konstante C 

 gemäß der Gleichung C=:f/(.r, 0) als Funktion des Schnittpunktes der Kurve mit der Äquatorachse 

 auf, so muß diese Funktion an der singulären Stelle einen stationären Wert haben. 



Die letzten Gleichungen genügen aber nicht zum Bestehen der geforderten Verhältnisse, da sie 

 nur die Bedingung für einen singulären Punkt geben; es sollen sich hier zwei reelle Kurvenzweige 

 kreuzen und für diesen Fall muß die Diskriminante 



8 x^ 8 s^ \ h xoz j 

 negativ sein. 



