Analyse der Laplace' sehen Kosmogonie. 415 



Kontraktion nichts geändert wird.) Die zum Zerfall notwendige Kontral<tion hängt nach diesem Kriterium 

 — wie es ja selbstverständlich ist — von einer Größe a ab, die ein Maß für die Abweichung des 

 urspri^ingiichen Zustandes von der Stabilitätsgrenze ist. Die Poincare'sche Ungleichung läßt aber folgern, 

 daß die Kontraktion überhaupt nicht unter ein bestimmtes angebbares Maß sinken darf, wenn der Ring 

 bestehen können soll. Die Forderung, daß einerseits 



4 TT ^- 0' -< ü)- 



14 

 sein soll, andrerseits, wenigstens in einem bestimmten Bereich der Ringmasse 



dr 



sein muß, läßt erkennen, daß der Bestand eines Ringes dann unmöglich ist, wenn an jeder Stelle 

 desselben 



3tü2 + 2(or — > — 0)2 



dr 14 



, ist. Der Grenzfall wird also eintreten, wenn an irgend einer Stelle 



41 • (i(o ^ 

 oi + 2r = 



14 dr 



und im übrigen >» ist. 



Führt man nun in diese Bedingung co als solche Funktion von r ein, wie sie nach der Kon- 

 traktion X stattfindet, so ergibt sich, daß sie dann sicher nicht mehr bestehen kann, wenn in allen 

 seinen Punkten die Größe 



-^.-^~v/l-(l-X)^^:o--2r. 

 14 //.^x. V r 



einen positiven Wert hat. Die Ausführung ergibt, daß dann 



15(1— X)^^l 

 r 



ist. Ist ra der äußere Ringhalbmesser, so wird diese Ungleichung für 



1 ra 







1 — 



4 



(1- 



-l') 



^^0 



3 



1 



r-'A^X 





3 





r 



2 



v/' 



— 



-(1- 



-^) 



r 



15 r. 



X= 1 



überall erfüllt sein. Da man die Breite des Ringes als klein gegen seinen Radius voraussetzen kann, 



14 

 so wird nach einer Kontraktion, die in den linearen Dimensionen um Geringes weniger als beträo-t 



15 



der Ring nicht mehr bestehen können. 



Dabei ist zu bemerken, daß hier nur die Verringerung des Geschwindigkeitsgefälles in Rechnung 

 gezogen wurde, die von der Kontraktion allein verursacht wird, also die Wirkung einer inneren Reibung 

 nicht berücksichtigt wurde, so daß die zur Erreichung der angegebenen kritischen Kontraktion erfor- 

 derliche Zeit eine Maximaldauer des Bestandes eines Ringes bedeutet. 



Da für das Grenzstadium die Rotationsgeschwindigkeit in der Distanz r näherungs\veise gegeben 

 ist d rch 



kWM 



1 + ^^fl-^ 



30 r, [ r J\ 



Denkschriften der mathem.-naturw. Klasse, 96. Band. 5ß 



