306 5. Opp enheim, 



die mittlere tägliche Bewegung der Erde. Die heliozentrischen Koordinaten eines Planeten seien 



x^=z a cos P y =^ a s\n P 



und 



dP 



dt 



^ 



seine mittlere tägliche Bewegung, sowie a seine mittlere Entfernung von der Sonne. Dies vorausgesetzt, 



sind 



p cos a := a cos P + a^ cos s 



p sin a = a sin P + a^ sin s 



die geozentrischen Koordinaten des Planeten und die Aufgabe besteht darin, den Differential- 



da Uf. 



quotienten durch die Größen a, s und -^ zu ß auszudrücken. 



dt a 



Man findet durch Differentiation 



do .da . _ 



cos a. — — — p sm a =: — au. sm P—an\i^n sm s 



dt dt 



da da ^ 



sin a — — +g cos a - — zu + aa cos P+Ur. a^ cos s 

 dt dt 



und daraus, indem man die erste Gleichung mit — sin a, die zweite mit cos a multipliziert und beide 

 sodann addiert, 



p z= a (i cos (a — P) + 7-0 [jiq cos (a— s) 



dt 



oder, da, wie man aus den Gleichungen für p cos a und p sin a leicht findet, 



a cos (a—P) =z: p — «0 cos (a — s) 



endlich 



da ^ o / s / N 



-— = (X H ß ([Ao-!^) cos (a-s) 



ar p 



Zur Berechnung von — führt am einfachsten der folgende Weg. Aus den Beziehungen 



P 



a cos P z= p cos a— Uq cos s 



a sin P zz: p sin a — a^ sin s 

 leitet man durch Quadrieren derselben und nachheriges Addieren die quadratische Gleichung ab 



— +2 — cos (a— s) zz: 



p) p 1-p 1-ß^ 



und aus ihr schließlich die Reihe 

 a _ ß 



— cos (a — s) + Yo + T2 cos 2 (a — s) — y^ cos 4 (a— s) + Yg cos 6 (a — s) + . . . 



P 1-ß' 



in welcher 



3 „ 45 „, 350 ., 

 Yo = 1 + — ß" H ß* + ß' 



4 64 512 



Ya = - ß^ + - ß* + ili ß« 



^ 4 16 512 



Y4 = 



— ß* + -^ ß« 

 64 512 



512 



