﻿Dynamische Theorie der Gezeiten. 407 



Diese Vermehrung des Flüssigkeitsquantums drückt sich aber in der Größe C, der Erhebung der 

 freien Oberfläche über die ungestörte, aus und ist gegeben durch \/EG'C,dpdv; es ist daher 



— (uh\/G)+ — (vh\/E) — s/EGZ 

 8[ji 3v 



und das ist die Kontinuitätsgleichung für den Fall kleiner Tiefen. Führt man die Darstellung der Defor- 

 mationen u und v durch die Funktion <J> ein und setzt 



X 2 Ä 2(0 



=r Äj, cos ö — h 1 = Ä g , 



X 2 + 4 w 2 cos 2 6 X 



so lautet die Kontinuitätsbedingung 



3|x\V j k°! x / cv \ V G ov / 3 [t 3 v 3 v o\l 



Dazu kommt noch die Bedingung der freien Oberfläche 



p = Konst. 



r^—-gt: + k*f— + 5- Konst. 



oder 



oder, da für ein Potential additive Konstante irrelevant sind, 



! rcdo 



r J~Ä~ 



Für 5 ist der der Größe X entsprechende Term Ce )f zu substituieren für die erzwungenen Schwin- 

 gungen — C ist eine Funktion von \x und v und den Bewegungselementen des störenden Körpers — oder 

 es ist 5 = und X bezieht sich auf die freien Schwingungen. Im letzteren Falle ergibt sich X aus einer 

 bestimmten Bedingungsgleichung. 



Aus der Kontinuitätsbedingung und der Bedingung der freien Oberfläche sind die einzelnen partiku- 

 lären Integrale für <j> und C abzuleiten. Diese Größen sind — abgesehen von dem von der Zeit abhängigen 

 Faktor— Funktionen des Ortes auf der Gleichgevvichtsoberfläche, also gewisse Funktionen von [x und v, und 

 die Lösung wird sich durch den Umstand besonders übersichtlich gestalten, daß sich derartige Funktionen 

 — wenigstens für die hier in Frage kommenden Gleichgewichtsfiguren — in Reihen gewisser Elementar- 

 funktionen entwickeln lassen, deren Integraleigenschaften eine sehr einfache Bestimmung der Koeffizienten 

 zur Folge haben. Für die Kugel sind dies die Kugelfunktionen und für Ellipsoide die Lame'schen 

 Funktionen. 



Da für das vorliegende Problem nur Maclaurin'sche Ellipsoide in Betracht kommen können, so 

 sollen die weiteren Schritte zur Lösung desselben unter Zugrundelegung dieser speziellen Gleichgewichts- 

 figur durchgeführt werden. 



3. Das Maclaurin'sche Ellipsoid. 



Die hier vorausgesetzte Gleichgewichtsform sei also ein Rotationsellipsoid. Die Lage eines Punktes 

 auf der Oberfläche sei durch die drei elliptischen Koordinaten 



gegeben, die im Falle eines Umdrehungskörpers auftreten, so daß der Punkt durch den Schnitt dreier sich 

 orthogonal schneidender Flächen gegeben ist: des Rotationsellipsoides 



X * _|_ y2 s 2 



- + — ~ = 1, . 



P" f j2 — C °~ 



