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wo c die lineare Exzentrizität der Meridianellipse ist, des einschaligen Rotationshyperboloides, dessen 

 Meridianschnitte mit dieser Ellipse konfokale Hyperbeln sind: 



x 2 + y 2 z 2 _ 



[X 2 c 2 — |X 2 



und der durch den Winkel <p bestimmten Meridianebene. Führt man statt ix die elliptische Kugelkoordinate fr 

 ein durch 



^- = sin fr, 

 c 



wo also fr der halbe Öffnungswinkel des zum Hyperboloid gehörigen Asymptotenkegels ist, so sind die 

 rechtwinkeligen Koordinaten dieses Punktes 



pu, . . . 



x = — — sin cp zz: p sin fr sin <p 

 c 



_y = ±J — cos 'f = p sin fr cos tp 

 c 



2 = — \/p 2 — c 2 \Jc 2 — jX 2 = \/p 2 — c 2 cos fr = p cos s cos fr, 

 c 



c 

 wenn — = sin s, das heißt, e der Exzentrizitätswinkel ist. 



P 

 Daraus ergibt sich für das Linienelement ds der Ausdruck 



ds 2 = — - — (1 -sin 2 s sin 2 fr) dp 2 + p 2 (1 -sin 2 s sin 2 9-) du 2 + p 2 sin 2 d-df, 



COS 2 £ 



also zerlegt nach den Komponenten in der Normalenrichtung und den beiden nach dem Meridian orien- 

 tierten in der Tangentialebene. 



Ist ferner 6 der Winkel der Normalen mit der 2-Achse, der hier mit dem Komplement der Polhöhe 

 identifiziert werden kann, und r die geozentrische Distanz, so ist 



tg 6 = cos s tg fr und r = p \/l — sin 2 s cos 2 fr. 

 Soll das Ellipsoid bei der Winkelgeschwindigkeit u> eine Gleichgewichtsfigur sein, so muß 



3 WM s (3-2 sin 2 e) -3 sin e cos s 

 co- zzi — . 



2 p 3 sin 3 £ 



sein, wo k die Konstante der Gravitation und M die Masse des Himmelskörpers bedeutet. 



Aus der diesem Werte entsprechenden Zentrifugalkraft und den bekannten Formeln für die Altraktions- 



komponenten der Rotationsellipsoide ergibt sich als Beschleunigung der Schwere auf der Oberfläche in 



einer Breite, die der Koordinate fr entspricht, 



* 



3 k 2 M , cos £ ,- — — — 



g = — — - (tgs — s) v/1— sin 2 £ sin 2 fr 



p 2 sin 3 £ 



oder, wenn man die Beschleunigung am Pol mit g Q bezeichnet, 



g — g \/l-sin 2 ssin 2 tt. 



Was nun die oben erwähnten zur Lösung heranzuziehenden Entwicklungsfunktionen anbelangt, so 

 sind diese für elliptische Koordinaten die Lame'schen Funktionen, die aber für Rotationsellipsoide in die 

 bekannten Kugelfunktionen übergehen. 



