﻿Dynamische Theorie der Gezeiten. 411 



so ist die räumliche Lame'sche Funktion bis auf einen konstanten Faktor gleich 



P$ (i cot s) Pjtf (cos) » e im 'f. 



Gewöhnlich wird der an sich willkürliche Faktor der Lame'schen Flächenfunktion A so bestimmt, 

 daß in der bekannten Integralrelation 



,'A» / d0 == Konst. 



'(Eii.)\/(P 2 -^)(P 2 -v 2 ) 



die rechts stehende Konstante der Einheit gleich wird. 



Soll nun unter P${x) die zugeordnete Kugelfunktion bezeichnet werden, wie sie in Heine's 

 »Theorie der Kugelfunktionen« definiert wird: 



1.3 (2n-l) ■ dx m 



(n — m)\ . * d n + m (x 2 —l) m 



- (# 2 — 1)2 - 



(2 m)! dx n +* 



so erhält man 



a {m /ö r 1.3... (2^-1) 



A = — ,-= \/2« + 1 p(;0 cos d) «*»» 



V/27T \/(n + m)\\/(n — «*)! '" 



Ist P, Um (x) die von F. Neumann definierte zugeordnete Kugelfunktion, das heißt 



^ w = (1 _^f '" f»W = ,, . l-3-(2»-l) ^ ( _ 



^^*" (77 — 777)! 



so ist 



A = . / 2n + l / (n-m) ], p (cos d) ^ 



In der Folge wird es notwendig sein, für die von p abhängigen Teile auch die Lame'schen, 

 beziehungsweise Kugelfunktionen zweiter Art einzuführen; sie genügen denselben Differentialgleichungen 

 und stehen mit den entsprechenden Funktionen der ersten Art in der Beziehung 



S = (2n+l)R f°° / d ? = ,. 



wo S die Funktion zweiter Art ist, die der Funktion erster Art R vom Grade n entspricht. 

 Zwischen beiden besteht die Relation 



dS dR 2n + 1 



R — 5 



d P ' dp vV-z^^) 



Die entsprechenden Relationen für die zugeordneten Kugelfunktionen Q$(x) (nach der Heine'schen 

 Definition) lauten 



ös?(*) = (2*+ i)p$p(*) [£-— d 



.Ml—* 8 



*){P&\x)y 



und 



dO (n Hr) dP (n) (r) 2 77 -f- 1 



py {x) d AW _Qg ix) ä J^l = i±±± 



dx dx l—x 2 



