﻿414 Dr. K. Hillebrand, 



durch die Entwicklungskoeffizienten von C \/l — sin 2 e sin 2 # selbst erhalten werden: es ist ja nichts 

 anderes als das Potential einer unendlich dünnen Schicht C auf einen ihrer Punkte und als solches eine 

 bestimmte Funktion des Ortes auf der Oberfläche des Rotationsellipsoides, kann also wieder nach Kugel- 

 flächenfunktion %■ und cp entwickelt gedacht werden, und zwar soll das in der Form geschehen 



n = s«w*pw U\ - Ajgw U\ - -Ä.) p%(cosb)e™*, 



wo für den Moment der Äquatorhalbmesser der ellipsoidischen Schicht p gesetzt wird, zum Unterschied 

 von einem veränderlichen p. 



Dann ist das Potential dieser Schichte auf einen außerhalb gelegenen Punkt mit den elliptischen 

 Koordinaten p > p , %-, cp 



I\ a = £ aW i PW U 1 - jt\ Q$ U 1 - _|!_j P$ (cos ft) ^« » 

 und das Potential auf einen inneren Punkt p < p , -8-, cp 



n, = s <$) * /$> (W -i - A\ ßg). U i - JL j pw (cos ») ^' * » , 



denn die Reihen konvergieren zugleich mit II, genügen der Laplace'schen Gleichung V 2 = und nehmen 

 auf der Oberfläche selbst die vorgeschriebenen Werte an, stellen also nach dem Dirichlet'schen Prinzip 

 tatsächlich das äußere und innere Potential der Schicht dar. 



Die Koeffizienten a sind offenbar reelle Größen. Nach der Heine'schen Definition der zugeordneten 

 Funktionen ist 



PW (* cot s) = i n B® , QM (i cot e) = -^—- Sg) , 



t n+l 

 WO 



_,, . cos w-,B s ( 4 (n — m) (n — m — 1) „ (n — m). . . (n — m — 3) . ) 



P«> = \\-\ i ^ '— tg 2 £+ -i '- i '— tg 4 £ + . . \ 



sin»s { 2.(2«— 1) 2.4.(2*— 1) (2*— 3) J 



sin n + 1 e T (n + m+ \)(ii + w+2) L „ (« + «z + 1). . .(;/ + m + 4) x . ) 



5 "> = — { 1 - - i tg 2 s+ i - i i tgH - ■ ■). 



cos n+m+i e | 2.(2^+3) 2.4.(2»+3)(2»+5) J 



Es besteht dann nach der obigen Relation für die beiden Arten der zugeordneten Funktionen die 

 Gleichung 



S S (n ~> 9 P ( "> 



R (n) ^m_ _ S (n) _^!L — 2« + 1 



9s 9s 



und 



n - X*WB™ SS?<*P8? (cos*)e*«» 



n a = Sa(«)p;;» sg») pw (cos-ay** 



n ; - = SaWPW S«o pw ( cos *y** , 



wo der zweite untere Index bedeutet, daß das Argument für p zu nehmen ist. 



Ist weiter s die Dichte der Flüssigkeitsschicht und betrachtet man C konsequent als kleine Größe, 

 so kann die zu IT gehörige Flüssigkeitsmenge als unendlich dünne Schicht mit der Dichte s C angesehen 

 werden und dann ist nach einem bekannten Theorem 



