﻿416 Dr. K. Hill ebr and, 



tj),— Sr^PW (cos &)e im f. , 



so wird es sich um die Ermittlung der Größen A$ und T<$ handeln. Setzt man den zu X gehörigen Teil der 

 Störungsfunktion 5 ebenso entwickelt voraus, also 



S=SCWPW(cos*)/ w ? 3 



wo die Cf$ bekannte Größen, im Fall der freien Schwingung gleich Null sind, so müssen nach einer 

 bekannten Eigenschaft dieser Entwicklungsfunktionen nach Substitution in die beiden Gleichungen die 

 Faktoren derselben Kugelfunktion indentisch verschwinden, eine Bedingung, die eine Serie von Gleichungen 

 zur Bestimmung der Koeffizienten Affi und T$ ergibt. 



5. Methode der Lösung für den Fall einer zonalen Tiefenfunktion. 



Nach dem eben angegebenen Lösungsvorgang erhält man aus der Bedingung der freien Oberfläche 

 die die eine Serie von Bestimmungsgleichungen repräsentierende Relation 



Weniger einfach gestalten sich die aus der Kontinuitätsgleichung folgenden Bedingungsgleichungen. 



Das Nullsetzen der Koeffizienten der linken Seite der Gleichung wird dadurch bedingt, daß die totale 

 Funktion, die diese bildet, nach Kugelfunktionen entwickelt ist. Nun kommen hier die Größen <]> und 



C\/l —sin 2 s sin 2 fr, für welche diese Entwicklung supponiert wurde, in Verbindung mit gewissen Funktionen 

 von fr und mit dem Operator D vor. 



Es sind also zunächst diese Verbindungen der in <J> und C\/l —sin 2 s sin 2 fr auftretenden Kugel- 

 funktionen wieder durch solche Funktionen auszudrücken. Das ist tatsächlich möglich. Aus der bekannten 

 Formel für die zugeordneten Funktionen 



( ipgQ + +1) _ (-")(« + «;) ( . + 1} p !;r .) w = 



dx (2n—\)(2n+\) 



folgt unmittelbar, daß 



D (PW (cosfr)) = -«Pg+D(cos*) + -A " J > {n + 1) P%+» (cos fr). 



(2m— 1) (2n + 1) 



(Die Heine'sche Definition vorausgesetzt.) 



Ferner folgt aus der Rekursionsformel 



j... „, , „x . ' (n—m) (n+m) „, ,. . . 



XP® (x) = P%+» (*)+ -J j±- J — P^~ x) {x) 



(2n + 1) (2n— 1) 



und deren wiederholter Anwendung, daß jedes Produkt 



cos*fr.PW(cosfr) 



sich ausdrücken läßt durch 



wenn k :£S n, respektive durch 



P(n+k) p(n+k-2) p(n-k) 



m > m > • " • 111 ' 



p(n+k) p(n+k-2) p(0) 



vi > vi > ' ' ' ' m > 



wenn k > n ist. 



