﻿418 Dr. K. Hillehr and, 



wo V der in Nummer 3 definierte Operator ist und die zweite Gleichung mit Berücksichtigung der Be- 

 deutung von D auch 



(V-f- ow)(j)j = - 2 cos* (sin 2 e — o 2 ) <|> 2 



geschrieben werden kann, so nimmt die Kontinuitätsgleichung die Form an 



(D + a m cos *) {iZ (1 - sin 2 s sin 2 *) [m 2 ^ + (D—am cos *) ^ 2 [} 



- ff. (1 -sin 2 e sin 2 *) *w 2 [(£> + o m cos *) ^ + (1 -sin 2 s sin 2 -9-) (1 -o 2 cos 2 6) ^] 



= p 2 C sin 2 *\/l— sin 2 e sin 2 •9-. 



Macht man die Annahme, daß 



ZZ(l-sin 2 esin 2 *)=& 



einer Konstanten gleich ist, so fällt fy t aus der Gleichung heraus und die Kontinuitätsbedingung reduziert 

 sich aut 



h (V — am) <j) 2 = C\/l— sin 2 s sin 2 *. 



Die obige Annahme ist aber nichts anderes als 



h — 



\/l— sin 2 e sin 2 * ' 



das heißt, jener Verlauf der Tiefe, der stattfindet, wenn auch die feste Oberfläche eine Niveaufläche ist. 



Zur Lösung des Problems hat man jetzt vier Gleichungen in den vier unbekannten Funktionen 



C, <|>, <K und <]v 



Berücksichtigt man in der Darstellung von <j» durch «pi und i|> 2 , daß 



cos * 

 cos 6 



so lauten diese 



\/l — sin 2 s sin 2 * 



£ \/l-sin a esin 2 &.C-X 2 <[> + £ 2 Ü + 5 = 



oder 



[A (V-am) <!> 8 = p 2 C \/l -sin 2 s sin 2 * 

 (V -+- am) <]>! = — 2 cos* (sin 2 s — a 2 ) <J> 2 

 <]j z= (Z) -f- ow cos *) ^ + [cos 2 s + (sin 2 s — a 2 ) cos 2 *]<J> 2 , 



<]> = (£) + o«/ cos*) 4*i — — c °s * (V + 5«) <J) X + cos 2 e.<J> 2 . 



/Li 



Die Lösung geschieht nun so, daß man auch für die Hilfsfunktionen ^ und t}> 2 eine Entwicklung 

 nach Kugelflächenfunktionen voraussetzt, im ganzen also vier Reihen von Koeffizienten aus den vier 

 jetzt wesentlich einfacheren Gleichungen zu bestimmen hat, und zwar sollen hier die Neumann'schen 

 Zugeordneten eingeführt werden, die eine bessere Symmetrie in den einzelnen Relationen ergeben. Für 

 diese lautet die hier benützte Rekursionsformel 



(2n + 1) cos * P n>m (cos *) =(n — m + 1) P„ +hlll (cos *) + (n + m) P n -i,m (cos *) 



und 



(2* + 1 ) D [P„ t m (cos *)] = — n (n — m + 1 ) P n+1> m (cos *) + (n — 1) (n + m) P n -\, m (cos *) . 



Es sei also der Faktor von 



