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Eine »bei S invariante Eigenschaft« von geometrischen Gebilden, die durch die Grundformen/") 

 gegeben sind, soll im folgenden definiert sein durch das Bestehen von Gleichungen (Identitäten) zwischen 

 Invarianten J. Als häufigstes Vorkommnis erwähnen wir das Verschwinden von Invarianten und das 

 identische Verschwinden von Kovarianten etc. 



Wenn nun geometrische Gebilde T im R n —\, definiert durch ein System von Grundformen f">, und 

 eine bestimmte Kolineationsgruppe 5 gegeben vorliegen, so bildet die Frage nach den bei den Trans- 

 formationen von 5 invarianten Eigenschaften der Gebilde 1" ein fundamentales Problem. 



In algebraischer Formulierung kommt diese Frage auf folgendes hinaus: Man soll alle algebraischen 

 Invarianten der Grundformen / (/) bezüglich der Gruppe 5 angeben. Und diese Frage findet ihre erste 

 Lösung durch Angabe der ganzen rationalen Invarianten der Grundformen f (i) bezüglich 5. Wir 

 beschränken uns im folgenden auf diese, verstehen also unter Invariante schlechthin stets eine ganze 

 rationale Invariante. 



Diese Ideenbildung wurde wohl zuerst von F. Klein ausgesprochen. 1 



Für die Untersuchung der Invarianten von Grundformen/® bezüglich einer Kollineationsgruppe S 

 ist der Begriff »vollständiges Invariantensystem« von grundlegender Wichtigkeit. Ein vollständiges 

 Invariantensystem wird gebildet von ganzen rationalen Invarianten J v J 2 , J 3 ,.... der Grundformen fty 

 bezüglich S, die die Eigenschaft besitzen, daß sich durch sie jede ganze rationale Invariante der Grund- 

 formen/W bezüglich S ganz und rational ausdrücken läßt. Besteht insbesondere das System J lf J 2 , J 3 ,. . 

 aus einer endlichen Anzahl von Invarianten, so heißt das System ein endliches. 



Wenn S die allgemeine projektive Gruppe des Gebietes ?z-ter Stufe R n —\ ist, so läßt man in dem 

 Begriffe »Invariante bezüglich S« den Zusatz »bezüglich 5« weg und spricht von »(allgemeinen) projek- 

 tiven Invarianten« oder auch von »Invarianten« schlechthin. Die Theorie dieser Invarianten bildet das, 

 was man gewöhnlich mit »Invariantentheorie« bezeichnet. Die Geometrie, welche von dieser Invarianten- 

 theorie beherrscht wird, ist die projektive Geometrie. 



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Die Frage nach einem vollständigen Invariantensystem von projektiven Invarianten eines gegebenen 

 Systems von Grundformen /© findet ihre Beantwortung durch drei Sätze, mit deren Hilfe es auch in den 

 nicht gerade einfachsten Fällen gelingt, ein solches vollständiges Invariantensystem wirklich hin- 

 zuschreiben. Diese drei Sätze sind: Die beiden Fundamentalsätze der symbolischen Methode und der 

 Hilbert'sche Endlichkeitssatz. 



De'r erste Fundamentalsatz der symbolischen Methode 2 sagt Bestimmtes über die Struktur 

 der Invarianten aus: Die Grundformen /W werden selbst symbolisch dargestellt; aus den hierbei ver- 

 wendeten Symbol- und Größenreihen werden in bestimmter Weise die Bausteine gebildet, aus denen 

 sich die Invarianten aufbauen lassen. Diese Bausteine lassen sich von vornherein erschöpfend angeben. 

 Hierbei spielt die sogenannte »abgekürzte Bezeichnung«, das heißt die Verwendung von Faktoren erster 

 und zweiter Art (Linearfaktoren und Klammerfaktoren) eine ausgezeichnete Rolle. 



Der zweite Fundamentalsatz der symbolischen M ethode 3 handelt von den Relationen die 

 zwischen Invarianten bestehen können. Mit seiner Hilfe gelingt es, bei vorgelegten Invarianten, die 

 zwischen ihnen bestehenden Gleichungen erschöpfend anzugeben. 



i F. Klein, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm Erlangen 1872; wieder abge- 

 druckt in: Mathem. Annalen 43, p. 63—100 (1893). 



Vergl. ferner Enzyklopädie, III A B, 4b, 31 (G. Fano). 



2 Vergl. meine Arbeit: Beweis des ersten Fundamentalsatzes der symbolischen Methode, diese Berichte, Bd. 72, Jänner 1913, 

 und die dort angegebene Literatur. 



3 Vergl. meine Arbeit: Beweis des zweiten Fundamentalsatzes der symbolischen Methode, wie bei 2 , Februar 1913, und die 

 dort angegebene Literatur. 



