﻿Über Drehungsinvarianten. 7 1 1 



Der Satz von D. Hubert schließlich sagt aus, daß ein vollständiges Invariantensystem von projek- 

 tiven Invarianten endlich ist. 1 Dieser Satz bietet dann von vornherein die Gewißheit, daß die beiden 

 Tätigkeiten: 1. Aufbauen von Invarianten vermittels des ersten Fundamentalsatzes der sjmibolischen 

 Methode und 2. Aufstellen der Relationen zwischen den so erhaltenen Invarianten vermittels des zweiten 

 Fundamentalsatzes der symbolischen Methode, nicht ins Endlose verlaufen können, sondern nach einer 

 endlichen Zahl von Schritten abbrechen müssen. Dann eben ist man im Besitze eines vollständigen 

 Invariantensystems. 



Ist nun die eben auseinandergesetzte Methode zur Aufstellung eines vollständigen Invarianten- 

 systems auch dann anwendbar, wenn wir als Kollineationsgruppe S nicht die allgemeine projektive 

 Gruppe, sondern eine algebraische Untergruppe derselben wählen? Wie liegen insbesondere diese Ver- 

 hältnisse, wenn wir für S die sogenannte »Hauptgruppe« 2 nehmen und also nach elementargeometri- 

 schen 2 Eigenschaften von geometrischen Gebilden fragen, oder noch spezieller, wenn wir für 5 die 

 Gruppe H der Euklidischen Bewegungen und Umlegungen nehmen? Auf diese letzteren Fragen Werden 

 wir in dieser Arbeit eine teilweise Antwort geben. 



Die Transformationen der Gruppe der Bewegungen und Umlegungen lassen das absolute Gebilde fi 

 (im R 3 den »Kugelkreis«) invariant. Man kann nun versuchen, das oben formulierte Fundamentalproblem 

 »Bestimmung eines vollständigen Invariantensystems von gegebenen Grundformen fV\ f@\. .., /('")« 

 bezüglich der Gruppe H auf die folgende Art zu lösen: Metrische Eigenschaften ergeben sich durch 

 projektive Beziehungen zu dem absoluten Gebilde. Daher braucht man nur den Grundformen /W diejenige, 

 in i?„_ 2 -Koordinaten quadratische Form U hinzuzufügen (adjungieren), welche, gleich Null gesetzt, das 

 absolute Gebilde ß darstellt; von diesem erweiterten System 



/»,/», ,/c«), U 



bestimme man dann ein vollständiges Invariantensystem bezüglich der allgemeinen projektiven Gruppe. 3 

 Der so angedeutete Weg führt aber nicht zum Ziele, worauf insbesondere E. Study hingewiesen 

 hat. 4 Vor allem sind die Methoden der projektiven Invariantentheorie nicht unmittelbar auf die Form U 

 anwendbar, da deren Koeffizienten nicht unabhängig veränderlich sind, weil die Diskriminante von U 

 verschwindet. Ferner lassen auch die Transformationen der Hauptgruppe (Bewegungen, Umlegungen und 

 Ähnlichkeitstransformationen) das absolute Gebilde ü invariant; es würde sich also zwischen Bewegungs- 

 invarianten und Invarianten der Hauptgruppe kein Unterschied ergeben. 6 



III. 



Wir schlagen im folgenden einen anderen Weg ein. 5 Wenn es nämlich gelingt, das Fundamental- 

 problem »Aufstellung eines vollständigen Invariantensystems« für eine Untergruppe D von H zu lösen, 

 so ist damit für die Bewegungs- und Umlegungsinvarianten selbst schon viel erreicht. Denn die ganzen 

 rationalen Invarianten bezüglich i/sind ja auch Invarianten bezüglich G. 



Wir wählen für D die gemischte Gruppe, deren Transformationen von den Drehungen um den 

 Koordinatenanfangspunkt und von den Spiegelungen an ihm, an den Koordinatenachsen, an den Koordi- 

 natenebenen etc. gebildet werden. 



1 Vergl. D. Hubert, Über die Theorie der algebraischen Formen, Mathe m. Annalen 36, p. 473 — 534 (1890). 



2 Vergl. Anmerkung i auf p. 2. 



3 Man vergl. diesbezüglich: Enzyklopädie III A B, 4b, 31 (G. Fano). 



4 E. Study, Über Bewegungsinvarianten und elementare Geometrie, I, Leipziger Berichte 4S (1896), p. 649 — 664; ferner 

 Geometrie der Dynamen, p. 123, Leipzig 1903. 



5 Andeutungen hierüber finden sich bei E. Study: Über die Invarianten der projektiven Gruppe einer quadratischen Mannig- 

 faltigkeit von nicht verschwindender Diskriminante, Leipziger Berichte 49 (1897), p. 442 — 461. Vergl. insbesondere p. 460. Siehe 

 ferner: E. Study, Zur Differentialgeometrie der analytischen Kurven, Transactions of the american mat. soc. 1, p. 1 — 49 (1909). 



15 Daß dies in gewissem Sinne wirklich zutrifft, werde ich demnächst in einer Arbeit »Über Be\vearune:sinvarianten« zeieen. 



