﻿712 R. Weitzenböck, 



Die Invarianten eines Systems von Grundformen f bezüglich dieser Gruppe D nennen wir kurz: 

 Drehungsinvarianten. 



In dieser Arbeit werden dann die folgenden Aufgaben gelöst: 



1. Aufstellung der Bausteine, aus denen sich jede ganze rationale Drehungsinvariante aufbaut, also 

 Ermittlung der Struktur dieser Drehungsinvarianten. Dies geschieht durch Angabe der Art und Weise, 

 wie die symbolisch dargestellten Koeffizienten der Grundformen f® in den Drehungsinvarianten auftreten. 

 Dieses Problem wird gelöst durch den (von uns so genannten) ersten Hauptsatz, der genau dem ersten 

 Fundamentalsatz der symbolischen Methode bei den projektiven Invarianten entspricht und dessen 

 Beweis sich auf einen von E. Study 1 bewiesenen Satz stützt. 



2. Erschöpfende Angabe der Relationen, die zwischen Drehungsinvarianten bestehen können. Dieses 

 Problem findet seine Erledigung durch den zweiten Hauptsatz, der dem zweiten Fundamentalsatz bei 

 den projektiven Invarianten entspricht. 



3. Angabe einer Methode, welche die Auffindung eines vollständigen Invariantensystems von 

 Drehungsinvarianten gestattet, insbesondere auch die Aufstellung eines kleinsten vollständigen Inva- 

 riantensystems. 



4. Endlichkeitsbeweis für die Invarianten eines vollständigen Invariantensystems von Drehungs- 

 invarianten. Die Endlichkeit ergibt sich hier aus dem allgemeinen Hilbert'schen Endlichkeitssatz, indem 

 die Drehungsinvarianten eines vollständigen Invariantensystems als projektive Simultaninvarianten 

 erkannt werden. 



Wir wollen hier gleich bemerken, daß aus der Endlichkeit der Drehungsinvarianten keineswegs 

 die der Bewegungs- und Umlegungsinvarianten folgt. Es kann wohl jede solche ganze rationale 

 Bewegungs- und Umlegungsinvariante durch eine endliche Anzahl von Drehungsinvarianten ganz und 

 rational dargestellt werden. Um die Endlichkeit der Bewegungs- und Umlegungsinvarianten zu beweisen, 

 müßte man aber zeigen können, daß sich diese endlichvielen Drehungsinvarianten so auswählen lassen, 

 daß sie gleichzeitig den Bewegungs- und Umlegungsinvarianten angehören. Dieser Beweis ist mir bisher 

 nicht gelungen. 2 



Immerhin erhalten wir durch das Folgende eine Methode, alle Ausdrücke anzugeben und in deren 

 Struktur volle Einsicht zu gewinnen, die bei algebraisch-elementargeometrischen Untersuchungen über- 

 haupt auftreten können. 3 Das Wertvollste ist dann durch die Tatsache gegeben, daß man eben die 

 Gesamtheit dieser Bildungen übersieht und die Gesamtheit der zwischen ihnen bestehenden Relationen 

 beherrscht. 



Im besonderen sei ausgeführt: 



Wir machen durchwegs Gebrauch von der abgekürzten Bezeichnung und von der symbolischen 

 Darstellung der gegebenen Grundformen. Unter letzterer verstehen wir nicht nur die von Aronhold- 

 Clebsch eingeführte Symbolik, die nur mit »gewöhnlichen« Symbolen arbeitet, sondern auch diejenige 

 Symbolik, in der zum Beispiel Plücker'sche Linienkoordinaten p^ durch »Komplexsymbole« pi dargestellt 

 werden: 



•Pik—PiPk — —PkPi- 



Ich habe diese Erweiterung der gewöhnlichen Symbolik zuerst in dem Buche »Komplexsymbolik« 4 

 angewendet und in verschiedenen späteren Arbeiten auseinandergesetzt. 5 



1 Vergl. die erste, bei 5 auf p. 3 genannte Arbeit. 



2 Es läßt sich leicht ein Kriterium dafür angeben, daß eine Drehungsinvariante auch Bewegungsinvariante ist, indem man 

 die Gruppe der Schiebungen berücksichtigt. 



3 Beispiele von solchen Ausdrücken bei Anwendung der abgekürzten Bezeichnung und symbolischen Darstellung habe ich 

 gegeben in der Arbeit: Zur Differentialgeometrie algebraischer Flächen, Monatshefte f. Math. u. Phys., 1913. Ferner in einer dem- 

 nächst erscheinenden Arbeit: Zur Elementargeometrie eines Kegelschnittes, Tohoku mathematical Journal, 1913. 



1 Vergl. Komplexsymbolik, Sammlung Schubert, Bd. 57, Leipzig 1908. 



5 Vergl. insbesondere die Arbeit: Über eine Erweiterung des Determinantenbegriffes, Archiv d. Mathem. u. Phys., 1913. 



