﻿710 R. Weitzenböck, 



Setzen wir also 



12) X — B nn . — 1 , 



so haben wir nach Gleichung 11): 



13) <I> = 3>, 



das heißt, es geht bei den Gleichungen (1) nicht nur der Minimalkegel K, sondern auch <3> und daher 

 auch ß in sich über. Außerdem bleibt das Quadrat der Entfernung eines Punktes y vom Ursprung 

 konstant. Die Transformationen (1) werden also gebildet von den Drehungen um den Punkt 



(/' u') = u' n = 



und von den Spiegelungen an dem Ursprung, an den Koordinatenachsen, Koordinatenebenen, Koordi- 

 natenräumen etc. Die von diesen Drehungen und Spiegelungen gebildete gemischte Gruppe bezeichnen 

 wir mit D. D ist eine Untergruppe der Gruppe der Euklidischen Bewegungen und Umlegungen des R n -\- 



Nun sei ein System von Grundformen 



vorgelegt und jede derselben sei symbolisch dargestellt durch Faktoren erster Art. Die Koeffizienten 

 dieser Grundformen /® setzen wir als unabhängig veränderliche, gewöhnliche komplexe Größen voraus. 

 Wir bezeichnen mit J eine ganze rationale Invariante dieser Grundformen bezüglich der Gruppe D 

 das heißt eine ganze, rationale, allseitig homogene, nicht identisch verschwindende Funktion der Koeffi- 

 zienten der Grundformen _/"<#, welche sich nach Ausführung einer zu D gehörigen linearen Trans- 

 formation vS mit einem Faktor multipliziert, der nur von den Transformationskoeffizienten z ik abhängt: 



14) ....... J = cp (sä) J [cp (e«) =je 0, | e ft | dp 0]. 



Wir nennen J kurz: Drehungsinvariante. 



Die Bezeichnung »allseitig homogen« soll ausdrücken, daß J homogen ist bezüglich der Koeffi- 

 zienten jeder einzelnen der Grundformen f®. 



Wir sprechen jetzt den (später zu beweisenden) ersten Hauptsatz aus: 



Erster Hauptsatz: Jede ganze rationale Drehungsinvariante J der Grundformen/W ist 

 symbolisch darstellbar durch die Faktoren: 



p q) 



15) { ,(ab), (al 1 ). 



Hierbei sind a, b, ....'.: gestrichelte oder ungestrichelte Größen- oder Symbolreihen 

 (gewöhnliche Symbole oder Komplexsymbole), mit denen die Grundformen jf® dargestellt 



sind; /'bedeutet die Größenreihe 0:0: : : 1. 



Dies ist diejenige Gestalt, die der erste Fund amentalsatz der symbolischen Methode für 

 die Drehungsinvarianten annimmt. Die Drehungen erfolgen hierbei um den Koordinatenanfangspunkt 



Wir können die Grundformen f® derart symbolisch schreiben, daß nur ungestrichelte Größen- oder 



Symbolreihen a, b, vorkommen. Wir erläutern diese symbolische Darstellung von Grundformen 



an drei Beispielen. 



