﻿Über Drehtmgsinvartanten. 719 



Aus K x (ßiki.... , biki...,, ) entsteht auf diese Weise eine Funktion K 2 (a, ß, p, q, ), 



in der jetzt nur mehr die Koeffizienten von Linearformen 



(au 1 ), ($%'),... :..,(pu'),(qu'), 



vorkommen. Man gelangt dann von K. 2 zu K x zurück, indem man erstens die Koeffizientenreihen p, q, . . . . 

 den obigen Substitutionen 



l ö v 



entsprechend ordnet und dann p, q, r durch eine einzige Reihe von Komplexsymbolen % ersetzt 



zweitens zieht man dann die Symbolreihen a, ß, , %, zu Koeffizientenreihen a m ..._ , bm...... . . . 



zusammen. 



Da nun die Reihen am.... , b m ..., , der transformierten Koeffizienten genau so aus den trans- 

 formierten Reihen a, ß, , P, Q, gebildet werden wie die Koeffizientenreihen am...., hm...., 



aus den Reihen a, ß, , p, q, , so folgt 1 aus der Identität 



K x (ä m ...., b m ...., ) = cp (sik).K t (am...., bm...., ) 



die weitere: 



k 2 («, F' >p,q> ) = ? ( e *) • K 2 («» fr >p> q> )> 



das heißt 



K 2 (ä, ß, ,P, q, ) = K 2 



ist eine Drehungsinvariante von Linearformen 



(«»0,(ß«0, , (Pu'), (lA 



Gilt nun der zweite Hauptsatz für Drehungsinvarianten von Linearformen, so kann man in der durch 



ihn gelieferten Darstellung von K, den Rückgang zu den ursprünglichen Symbolen a, b durchführen. 



Hiebei wird aber der Typus der Faktoren 15) nicht geändert. Der zweite Hauptsatz gilt dann also auch 

 für K (am...., hm...., ), w. z. b. w. 



§4- 



Wir beweisen jetzt den ersten Hauptsatz für Linearformen. Es seien a,b, deren Koeffizienten- 

 reihen und 



17) G — G(a, b, ) 



sei eine ganze rationale Drehungsinvariante von mindestens einer dieser Linearformen, so daß wir also die 

 Gleichung haben: 



18) G — G (ä,'h, ) = <p (sik).G(a, b, ). 



Jetzt sind zwei und nur zwei Fälle möglich: 



1. G enthält keine der Größen a„, b,„ ; 



2. G enthält mindestens eine dieser Größen a n , b,„ 



Im ersten Falle enthält dann nach 1) auch G keine der Größen a. n , b,„ Somit ist G eine ganze 



rationale und homogene Funktion der Koeffizienten der Linearformen 



(a | u') — a x u[+a., u[+ +#«-i u' n -\ etc., 



1 Vergl. die bei - auf p. 2 genannte Arbeit. 



