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R. W eitzenb ö ck , 

 Dann bemerken wir, daß die »-reihige Determinante 



30). 



.{ab. 



•pq) 



K h 



PlP-2 

 a i °2 



■Pn 

 ■Qu 



eine projektive Invariante, also auch eine Drehungsinvariante ist. 



Wenn wir sie nach der letzten Spalte entwickeln, so erhalten wir eine Darstellung von {ab ... . .pq) 

 mittels der Faktoren (29): 



31) (ab pq) — {ab pV) (qV) — {ab qV) {pV) + 



Diese Gleichung ist nichts anderes als die Identität 



{ab pq) (V V) — (ab pV) (qV) — {ab qV) (pl') + 



in der wir 



(V V) = 1 



gesetzt haben. (Vergl. die Gleichungen 5) und 6). 



Wir vereinbaren nun, daß wir in G, welches mittels der Faktoren 29) dargestellt ist, für einen Ausdruck 



{ab pl') (ql') — {ab ql') {pl') + 



den ihm gleichen Faktor {ab. . . .pq) schreiben. Hierdurch tritt zu den Faktoren 29) noch der Typus 

 {ab. . . .pq), wodurch wir also die Faktoren 16) erhalten. 



Der erste Hauptsatz ist somit für Linearforirren und daher überhaupt für beliebige Grundformen 

 bewiesen. 



Die zuletzt gemachte Bemerkung zeigt des weiteren, daß wir im ersten Hauptsatz den Faktortypus 

 {ab. . . .pq) weglassen können. [Vergl. 31).] Es ist aber unter Umständen zweckmäßig, ihn beizubehalten, 

 worauf wir in der obigen Formulierung des ersten Hauptsatzes Rücksicht genommen haben. 



Nach dem ersten Hauptsatz ist jede ganze rationale Drehungsinvariante K durch die Faktoren 15) 

 ganz und rational ausdrückbar. K ist ein Produkt von solchen Faktoren oder eine Summe von solchen 

 Produkten. Dabei ist jedes dieser Produkte allseitig homogen und selbst wieder eine Drehungsinvariante, 

 denn die Faktoren 15) besitzen gegenüber der Gruppe D die Invarianteneigenschaft. [Vergl. den auf die 

 Gleichung 23) bezüglichen Schluß des § 4.] Wir erhalten somit sicher alle Invarianten eines vollständigen 

 Invariantensystems bezüglich der Gruppe D, wenn wir nur Produkte der Faktoren 15) betrachten. Hierbei 

 wird »ein vollständiges Invariantensystem« gebildet von ganzen rationalen Invarianten, die die Eigenschaft 

 haben, daß sich durch sie alle ganzen rationalen Invarianten (bezüglich derselben Gruppe) ganz und 

 rational ausdrücken lassen. 



Wir haben also den 



Satz 1: Die Invarianten eines vollständigen Invariantensj^stems von Drehungsinvarianten 

 können so gewählt werden, daß sie Produkte der folgenden Faktoren sind: 



32) (ab pq), (ab pl'), (ab), (aV) 



/'bedeutet hierbei die Größen reihe 0:0: : : 1. 



