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R. We itzenböck, 



Zweiter Hauptsatz: Jede Identität zwischen ganzen rationalen Drehungsinvarianten 



läßt sich verifizieren mit alleiniger Hilfe von trivial-identischen Umformungen und 



identischen Umformungen, die durch die drei folgenden Identitäten gegeben sind: 



37). 



7 (ab. . . .pq) (aß) 



2/ {ab pq) (aß. 



(ab....pq)(a$) + 



,[j,v) — (ab pq) (aß jav) 



O a ) 



.= o 



.= 



777 (ab. . . .pq) (aß. . . . jxv) 



(av) 



(?«)■ 



(<?v) 





Die a, b, , a, ß,. . . . sind hierbei gestrichelte oder ungestrichelte Größen- oder 



Symbol reihen, oder auch die Größenreihe 0:0: : : 1. 



Man sieht, daß der zweite Hauptsatz analog dem zweiten Fundamentalsatze der symbolischen 

 Methode lautet. Da bei Drehungsinvarianten der Unterschied zwischen ko- und kontragredient wegfällt, so 

 erscheinen hier die Identitäten 361) und 36 I') und ebenso 36 II) und 36 77') in je eine einzige Identität 

 37 7) bezw. 37 77) zusammengezogen. 



Einen besonderen Fall der Identität 37 7) haben wir dann, wenn a = ß z=z V ist. Dann erhalten wir 

 wegen (V V) = 1 : 



38) (ab pq) — (V b p q) (a V) + (V a p q) (bl 1 )— = 



[vergl. § 5, Gleichung 31)]. 



Die Identitäten 37) können die verschiedenartigsten Gestalten annehmen. Die drei obigen repräsen- 

 tieren dann drei Klassen von Identitäten; in jeder Klasse gehen die einzelnen Individuen aus den obigen 



drei Typen 7, 71 und III durch Spezialisierung der Reihen a, b, . . . ., a, ß, und durch trivial-identische 



Umformung hervor. 1 



Man könnte dieses Äquivalenzprinzip auch ausdehnen und dann die Identität 37 1) ganz unter- 

 drücken. Wenn wir nämlich in 3777) die Reihen ß,. . . ., jx, v mit (?/- — 1 )-fältigen Komplexsymbolen s' iden- 

 tifizieren und dann zu ungestrichelten Größen s,- übergehen: 



(as'»- 1 ) — (— l)*- 1 (n—\)\ (as) 



so entsteht aus 37 77) die Identität 37 7). Diese Bemerkung gilt auch bezüglich der ersten vier Iden- 

 titäten 36). 



Die so geschilderte Herleitung von 37 7) aus 37 77) erfordert aber (n — l)-fältige Komplexsymbole, 

 die unter den Symbolen, mit denen Grundformen dargestellt werden, nie vorkommen. Man schreibt eben 

 eine Linearform (an 1 ) mit 7? M _2-Koordinaten u\ nicht als (n — l)-te Potenz: (a' u)"- 1 . Es kommt der Über- 

 gang von 37 77) zu 37 7) auf eine Substitution 



(ß \^)i -s'i 



hinaus, und dies ist keine trivial-identische Umformung. Daher behalten wir auch 37 7) als selbständigen 

 Typus bei. 



Der Beweis 1 des zweiten Hauptsatzes wird folgendermaßen geführt. Man zeigt zuerst, daß der 

 zweite Hauptsatz allgemein, d. h. für beliebige Grundformen richtig ist, wenn er für Linearformen gilt. 

 Hierzu stellt man aus der ursprünglichen Identität J = durch identische und trivial-identische Um- 

 formungen eine neue Identität J = her. J hat die Eigenschaft, Komplexsymbole auf besondere Weise 



1 Vergl. die bei 3 auf p. 2 genannte Arbeit und die dort angegebene Literatur. 



