﻿Über Drehungsinvarianten. 727 



zu enthalten: kommt nämlich in einem Gliede von J ein Komplexsymbol p ungestrichelt (gestrichelt) vor, 

 so enthalten alle Glieder von J dieses Komplexsymbol p ungestrichelt (gestrichelt). Aus J = bilden wir 

 weiter durch trivial-identische Umformungen (Vertauschung äquivalenter Symbolreihen und Addition der 

 so entstehenden Ausdrücke) eine neue Identität M = 0. InM = lassen sich dann die Reihen der 

 gewöhnlichen Symbole als wirkliche Größenreihen, also als Koeffizientenreihen von Linearformen auffassen. 

 Diejenigen Koeffizientenreihen/? in M, die durch Komplexsymbole p dargestellt werden, ersetzen wir dann 

 durch entsprechend viele Größenreihen x^>, x®, mit Hilfe von Substitutionen der Gestalt 



Pin.... =-i-.(*c»*® *«>),H , 



dl 



wobei d die Fähigkeit von p ist. 



Durch solche Substitutionen entsteht aus M = eine neue Identität M' = 0, die keine Komplex- 

 symbole mehr enthält und die eine Identität zwischen Invarianten von Linearformen darstellt. Der Rück- 

 gang von M' = zur ursprünglichen Identität J = ist eindeutig; gilt der zweite Hauptsatz für M' = 0, 

 so gilt er auch für J = 0. 



§n. 



Wir bezeichnen die von V verschiedenen Größenreihen in M! = mit 



xM,x®, ,xW (N^ 1). 



Sie kommen in M' in den Faktoren vor: 



(#CD x® «<*)), («CD a:(2) #(«-D fy (*(0 #(*)), (#0 /'). 



Es sei nun N->n\ dann greifen wir n beliebige Reihen .t (1) , , # (,,) in Tl/' heraus und entwickeln 



M! in eine Gordan-Capelli'sche Reihe 1 nach Potenzen von (x^K . . .%&>): 



M — M + (*»>. . . .*W) Af x + + (* (1) . . . .xWf M k (k ^ 1) 



Dies ist eine identische Umformung mit Benutzung der Identitäten 37). 

 Es ist dann 



M o = 0,M 1 = 0, M k = 



und diese Ausdrücke M t setzen sich aus Polaren 10 zusammen, wobei Q einen Ausdruck bezeichnen 

 soll, der aus M! dadurch hervorgeht, daß man zwei Reihen x {i) und x&> einander gleich setzt. 



Jetzt schließt man so wie im allgemeinen Falle, 2 daß der zweite Hauptsatz für M bewiesen ist, 

 sobald er es für die Ausdrücke Q ist. Mit anderen Worten, der zweite Hauptsatz ist für Invarianten M' = 

 richtig, sobald er für Invarianten Q = mit nur 7V— 1 Koeffizientenreihen bewiesen werden kann. Von 



TV — 1 kommt man dann auf TV — ,2, TV— 3, , bis schließlich bei n — 1 Koeffizientenreihen x® die 



Möglichkeit aufhört, O in eine Gordan-Capelli'sche Reihe zu entwickeln. Hier wird dann der Beweis 

 fertiggestellt durch den Satz: 



Zwischen Drehungsinvarianten mit n— 1 oder weniger Größenreihen 



*», *®, , *M (1 ^ o ^ n— 1) 



gibt es nur triviale Identitäten. 



1 Vergl. etwa: A. Capelli, Lezioni sulla teoria delle forme algebriche, Neapel 1902, p. 134. 

 - Vergl. die bei 3 auf p. 2 genannte Arbeit. 



