﻿Über Drehungsinvarianten. 729 



Mit Hilfe der Transformation 40) kann man auch allgemein bei einer Identität ./ = nachweisen, 

 daß man J so identisch umformen kann, daß jedes seiner Glieder entweder einen und nur einen 

 Klammerfaktor enthält oder daß in keinem Gliede von J ein Klammerfaktor vorkommt, in J also nur 

 Linearfaktoren auftreten. Zuerst kann man nämlich mit Hilfe der Nullidentität 38) jeden Klammerfaktor 

 (.i' (1 > .t (2) . . ..r ( ")) aus J entfernen. Dann läßt sich das Produkt von je zwei Klammerfaktoren (x& * (2) . . .# (w— J) V) 

 mit Hilfe von 37 III) durch Linearfaktoren ausdrücken. Daher kann jedes Glied von J so umgestaltet 

 werden, daß es höchstens einen Klammerfaktor enthält. Wäre nun 



J=A + B = 



wo A nur Glieder mit Klammerfaktoren, B nur Glieder ohne Klammerfaktoren enthält, so würde die Trans- 

 formation 40) auch zur Identität 



A — B = 



führen, woraus dann 



^4 = und B = 



folgt. J zerfällt also in diese beiden zuletzt angeschriebenen Identitäten. 



§ 12. 



Aus dem zweiten Hauptsatze folgt jetzt im Vereine mit den bisherigen Sätzen: 

 Satz 7. Gegeben ein System von Grundformen 



und es seien a, b, , a', f/, die Symbol- oder Größenreihen, mit denen diese Grund- 

 formen f dargestellt sind. 



Man findet dann ein kleinstes vollständiges Invariantensystem von Drehungs- 

 invarianten, indem man erstens nach Satz 5 ein vollständiges Invariantensystem 

 von Drehungsinvarianten 



/ , = ^ z -'15 J%) » J . p 



aufstellt und zweitens jede Invariante Ji desselben wegläßt, die durch identische 

 Umformung vermittels der Nullidentitäten 37) durch die übrigen J p (p dp #) ausgedrückt 

 werden kann. 



Die Konstatierung dieser letzteren Tatsache kann stets durch eine endlichmalige Anwendung der 

 Identitäten 37) erfolgen, da J ein Produkt (vgl. Satz 5) von endlichvielen Faktoren 32) ist. 



Die allgemeinen projektiven Invarianten eines Systems von Grundformen sind natürlich unter den 

 Drehungsinvarianten vorhanden. Bei einem kleinsten vollständigen Invariantensystem von Drehungs- 

 invarianten kommen aber nur diejenigen projektiven Invarianten vor, die keinen Klammerfaktor (ab. . .pq) 

 enthalten. [Vgl. Gleichung 38).] 



Zum Beispiel haben wir bei n = 4, wenn das System der Grundformen aus den vier folgenden Linear- 

 formen besteht: 



(*'*), (b'x), {d x), (an') 



