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die nachfolgenden Drehungsinvarianten: 



0' d a V) (a! a!) {a! V) 



(a! d a V) (b' b') (b' !') (a! b'), (b' d), (d a') 

 V = (al b> d a), , 



^ (a'b'al') (de') (dl') (d a), (b' a), (d a) 



(a'b'dl') (aa) (aZ') 



S ist ein vollständiges Invariantensystem von Drehungsinvarianten. Ein kleinstes vollständiges 

 Invariantensystem I' von Drehungsinvarianten erhält man aus S, indem man (a' b' d a) wegläßt. Es sind 

 dann in 27 



(a! oi), (b' a) und (d a) 



auch Invarianten bezüglich der allgemeinen projektiven Gruppe. 



Die Drehungsinvarianten zerfallen in zwei Klassen: solche mit einem Klammerfaktor (ab. . . .pql') und 

 solche ohne einen Klammerfaktor. Die ersteren wechseln bei einer Transformation 40) das Vorzeichen, die 

 letzteren nicht. Das Produkt von zwei Drehungsinvarianten der ersten Klasse ist stets ganz und rational 

 durch Drehungsinvarianten der zweiten Klasse ausdrückbar. 1 



§13- 



Wir setzen jetzt n Sg 4 voraus, so daß also die weiteren Betrachtungen erst vom dreidimensionalen 

 Euklidischen) Räume an gültig sind. 



Die Transformationen 1) mit den Nebenbedingungen 3), 4) und 12) stellen die Drehungen (und 

 Spiegelungen) um den Koordinatenanfangspunkt 



u' n = 



dar. (Vergl. § 1.) Durch jede Transformation der Gruppe D wird der uneigentliche R n —2 



(l> x) — x n — 



in sich übergeführt. 



Wir betrachten nun jene Transformationen von D, welche auch den R„—z 



42) (k'x) = l.*„_i = 



in Ruhe lassen. Diese Transformationen bilden wiederum eine (gemischte) Gruppe R, deren Trans- 

 formationen (Spiegelungen) und Drehungen um die Achse OP sind, wobei der Koordinatenanfangspunkt 

 und P der Punkt mit den Koordinaten 



0:0:0: :0: 1 :0 



ist; die Gleichung von P ist daher: 



43) (k' U') — U'n-! = 0. 



R ist eine Untergruppe von D. Wir suchen die, dem ersten und zweiten Hauptsatz entsprechenden 

 Sätze bezüglich der Gruppe R. 



1 Vergl. die beiden bei 3 auf p. 3 genannten Arbeiten von E. Study. 



