232 



5. Oppenheim, 



cos 2 cp = 2 cos'^ 9 — 1 



cos 3 cp = 4 cos^ 9 — 3 cos cp 



cos 4 cp =: 8 cos* tp- 8 cos cp+1 



findet man 



cos 2 (pi?) = — X^X^^ cos 2 (a-.4) + — X^X^i cos (a-^) + — Xo ^['so- — ^^oo^oo 

 9 9 3 3 



cos 4 (p i?) = 



1 



11025 



^44^44 COS 4 {a. — Ä) + 



11025 



X43XI3COS 3(a-^) 



16 4 



■ Xa,2 Xao — Xoo ^22 



1575 63 



COS 2(a- A) 



^9 Ifi 

 -A41 ^41 — — -A21-A21 



175 63 



COS {(x. — A) + 



Y Y' Y Y' Y Yf 



-— -A40-A4O ~" TT -^20-4-20 ~ TT -^00-^00 



35 21 15 



30 



Zum Beweise dieser Gleichungen ist die Kenntnis des Satzes notwendig, daß das Produkt zweier 

 Kugelfunktionen, zum Beispiel X-^x X^■^ sich durch eine endliche Summe einfacher Kugelfunktionen dar- 

 stellen läßt, deren erstes Glied X« 4. p., x 4. v ist. In gleicherweise kann auch das Doppelprodukt zweier 

 Kugelfunktionen der zwei verschiedenen Variabein 8 und D, das ist etwa X-^k X'.^\ X^si X'^s,, in eine endliche 

 Summe von Produkten von Kugelfunktionen Xund X' aufgelöst werden, deren Anfangsglied ^x + jx, x + v 

 X + |i, ), + V ist. 



Für die weitere Entwickelung werden nur die Doppelprodukte ^x -X^x einerseits mit X^ -Xii, anderer- 

 seits mit Xto -Xio gebraucht; einige der sich da ergebenden Formeln seien hier mitgeteilt: 



-^10 X^a X\i -Xii 

 XiQ X^Q Xxx All 



1 



A21 A21 



Asi^si -t- ^33^X33 — — AiiXii 



30 600 5 



-X40 -X40 -Xil ^11 — -X51X 51 + A53 A53 + A55X55 — A31A31 



135 30240 6721920 54 



{XnXl^y 



1 



XooX 



22-^ 22 



-X2lA^21-XiiAii — — — — - X32X32 

 225 



1 



X^^iXn 



1080 

 -X22-X22-X11A11 zr: 

 1 



33-^33 



— —1 — -XssJ^sa 

 25 



-X41 -X41 ^11 Xii 



Xf,%X 52 + 



189 



-X54X54 — — A32A32 



20412 27 



1 



A42A42A11 All — Xfi^X f,z+ A55A55 — — A33A33 



84 9072 3 



-X43 A43 All -Xii — -X54A 54 



81 



A44A44A11A11 — — A55A55 

 81 



(Aio -Xio)'' 



X'iqX 20 ■ 



'■00^^00 



A22A22A10A10 - 



_ 1 



" 25 



Xyi^-ii 



