Grundlagen der statistischen Mechanik. 393 



I. Teil. 



i. 



Es sei ein Kollektivgegenstand von N Punkten gegeben, welche in einem von einer geschlossenen 

 Fläche begrenzten Teil des Raumes irgendwie angeordnet sind. Um diese Anordnung zu beschreiben, 

 brauchte man nur ein Koordinatensystem zu legen und die drei Koordinaten eines jeden Punktes 

 anzugeben. Man wünscht dies aber nicht zu tun, zum Beispiel weil die Zahl N so groß ist, daß 

 bei dieser Methode jede Übersicht verloren ginge; sondern man will »statistisch« vorgehen, d. h. 

 durch bloßes Abzählen die »Dichte«, mit der die Punkte an den verschiedenen Stellen des Raumes 

 verteilt sind, rinden. Man nimmt sich also den Grenzfall zum Muster, wenn die Zahl der Punkte in 

 jedem noch so kleinen Raumteil unendlich groß ist, dieselben also überall dicht liegen und man 

 wirklich exakt von einer »Verteilungsdichte« an jeder Raumstelle sprechen kann. In unserem Falle läßt 

 sich diese Methode nur in einer Weise anwenden: man teilt den gegebenen begrenzten Raum in 

 irgendeine Zahl n gleicher »Zellen« und gibt an, wie viele Punkte in jeder Zelle liegen. Die Angabe 

 dieser Zahlen gibt uns ein Bild von der Verteilung der Punkte mit einer Genauigkeit, die ganz von 

 der Zahl der Zellen und jener der Punkte abhängt. Ein ähnlicher Vorgang tritt ja bei der Herstellung 

 jeder statistischen Zusammenstellung ein. So ordnet man z. B. bei der Herstellung einer Rekrutentafel 

 die Rekruten nach dem Argument der Körperlänge und, indem man das Argument etwa nach ganzen 

 Zentimetern fortschreiten läßt, gibt man an, wieviel Rekruten in jedes Intervall hineinfallen. In diesem 

 Falle ist der »Raum« der eindimensionale der Körperlänge, in welchem die Rekruten als »Punkte« zu 

 verteilen sind und die »Zellen« haben die Größe eines Zentimeters. Wir wollen in Zukunft die Punkte 

 die »Elemente« der Verteilung nennen. 



Die Angabe einer bestimmten Verteilung besteht also in der Angabe der Zahl der Elemente, 

 welche in den einzelnen Zellen, die wir uns etwa von bis n — 1 numeriert denken können, vor- 

 handen sind. Da es nun nur auf die Zahl der Elemente in jeder Zelle, hingegen nicht darauf ankommt 

 welches Element gerade in einer bestimmten Zelle liegt, so kann die betrachtete Verteilung in vielen 

 verschiedenen Arten hergestellt werden. Die Zahl dieser Anordnungen von Elementen, welche alle 

 dieselbe Verteilung ergeben, ist leicht zu berechnen. 1 Nennt man x\ die Zahl der Elemente, welche 

 sich in der X + 1 ten Zelle befinden, so beträgt die gesuchte Zahl 



Nl 



Es ist klar, daß bei der Untersuchung einer großen Zahl von Verteilungen eine solche sich 

 häufiger vorfinden wird, welcher eine größere Zahl z von dieser Verteilung günstigen Anordnungen 

 der Elemente entspricht. Die Zahl z ist also ein Maß für die »Wahrscheinlichkeit« einer Verteilung, 

 d. h. für die Häufigkeit ihres Vorkommens. Wir wollen den Ausdruck für z in bekannter Weise mittels 

 der Stirling'schen Formel 



lim r! = \J'l%r 



' e 



umwandeln, um den Teil des Ausdrucks, der bei konstanten N, u die Verteilung bestimmt, zu weiterer 



1 S. z. B. Boltzmunn, Vorlesungen über Gastheorie, I. § 6. 



