Grundlagen der statistischen Mechanik. 395 



N Elemente zu N herausgegriffenen Wertetripeln der unabhängigen Veränderlichen. So hat Boltz- 

 mann in bekannter Weise den »Geschwindigkeitsraum« benutzt, dessen Koordinaten die drei Kompo- 

 nenten des Vektors der Geschwindigkeit bedeuten, in welchem Gasmoleküle als Elemente einzuordnen 

 sind. Es ist aber weiter klar, daß die angestellten rein formalen Überlegungen auch von der Dimension 

 des Raumes unabhängig sind, daß man dieselben ebensogut für die zweidimensionale Ebene, wie für 

 einen Raum von vier Veränderlichen anstellen könnte. Wesentlich ist nur, daß ein bestimmter 

 Raumteil abgegrenzt wird, in welchem die Einordnung der Elemente zu vollziehen ist. Wir wollen 

 den folgenden Untersuchungen einen allgemeinen Raum von r Dimensionen zugrunde legen. 



Zwei besonders wichtige Fälle sollen bei unserem Verteilungsproblem herausgegriffen werden: 

 1. Es sei bei der Anordnung der Elemente im Zustandsraume keine andere Bedingung vor- 

 geschrieben, als die selbstverständliche, daß die Summe aller Elemente stets A r sein muß oder 



K=n— 1 



£ «* = 1. I) 



x=o 



In diesem Falle unterliegt von vornherein auch die Einteilung des Raumes in Zellen gar keiner 

 Einschränkung, also im besonderen keiner hinsichtlich der Form derselben. Wollen wir zum Beispiel 

 die Verteilung von N Punkten in einem von einem Kreise eingeschlossenen Stück der Ebene studieren, 

 so können wir die Kreisfläche ebensowohl in n flächengleiche Sektoren teilen, welche uns als Zellen 

 dienen sollen, wie in n gleiche Ringflächen; beide Zellenteilungen sind gleich gut. 



2. Es sei die Verteilung außer der Bedingung I) noch einer Bedingung folgender Art unter- 

 worfen: Es sei eine Funktion H(£ l5 £ 2 . . .£,.) der r Koordinaten £ v £ 2 . . . i r des Zustandsraumes gegeben 

 von folgender Eigenschaft: Bildet man die Funktionswerte für alle jene Stellen des Raumes, an denen 

 Elemente liegen, so soll stets — das heißt bei jeder Verteilung der Elemente — die Summe der 

 Funktionswerte denselben Wert E ergeben. In dieser Form können wir nun freilich die Bedingung 

 nicht ansetzen. Denn infolge der statistischen Natur unserer Überlegungen sind uns nicht die Koor- 

 dinaten jedes einzelnen Elementes gegeben, sondern nur die Zahl der Elemente in jeder Zelle; die 

 rohere Art der Betrachtung macht gleichsam aus allen Elementen einer Zelle ein einziges Individuum. 

 In logischer Konsequenz dieser Behandlungsweise werden wir auch die verschiedenen Werte, welche 

 die Funktion H (£ v £.,...£,,) für die Elemente einer Zelle besitzt, in einen einzigen Wert zusammen- 

 werfen, also so tun, als ob allen Elementen der X ten Zelle derselbe Funktionswert E>._ , zugehörte 

 und die genannte Bedingung daher folgendermaßen ansetzen: Es sei für jede Verteilung 



x = »-i 

 \ .r x E )v =E 



oder 



x=o 

 N V n> x Ex=E. II) 



X = 



K>. ist ein Mittelwert aller Funktionswerte H, welche in der Zelle vorkommen. In welcher Weise 

 dieser definiert wird, muß natürlich angegeben werden; eine Erörterung über verschiedene Möglich- 

 keiten dieser Definition folgt später (siehe § 4). 



Es ist aber klar, daß diese Formulierung zur Voraussetzung hat, daß man wirklich mit dem- 

 selben Grad von Genauigkeit, welcher der ganzen statistischen Berechnungsweise innewohnt, die 

 verschiedenen Funktionswerte innerhalb einer Zelle durch einen einzigen Mittelwert K>. ersel 

 kann, daß also in der Zelle nicht Punkte mit allzu verschiedenen Funktionswerten vorkommen; dies 



