Grundlagen der statistischen Mechanik. 403 



Die andere Summe kann unter Einführung derselben Voraussetzung in analoger Weise angenähert 

 werden: 



X = »-l 



V a> e~ s v- = ( o. x e~ sa x dx—A t a e~ s a « —A (1 —sa ) a! Q e- s a » + . . . 17) 



xtfo J° 



Hat man die in 16) und 17) vorkommenden Integrale als Funktionen von s berechnet, so erhält 

 man durch Einsetzen der Summen in 10), 11) zwei mit beliebiger Annäherung giltige transzendente 

 Gleichungen, aus denen man a und s, also auch n bestimmen kann. 



Es ist klar, daß man die Formeln 16), 17) nur anwenden kann, wenn die Ableitungen o! x , a"... 

 an der Stelle x — endlich bleiben. Dieser Forderung entspricht aber nur die Definition 8 b), welche 

 also vor allen anderen durch besondere Einfachheit in mathematischer Hinsicht ausgezeichnet ist. In 

 jedem anderen Falle muß man natürlich die Summe in zwei Teile teilen: 



X = 11— 1 

 x = o 



sa-X — 



e~ 



-"* «0 -f. 



X = M— 1 

 X = 



-S a\ 



> 



und auf den zweiten Teil die Euler'sche Summenformel anwenden; in dieser kommen dann nur die 

 stets endlich bleibenden Ableitungen a[, a!{ . . . an der Stelle #= 1 vor. 



Ein besonderer Fall tritt ein, wenn r eine große Zahl ist. In diesem Falle ist — gleichgiltig 

 welche der Definitionen 8 a), 8 b), 8 c) man zugrunde legt — selbst für sehr große Werte von X 

 nahezu 



Dann erhalten die Gleichungen 10), 1 1) mit großer Annäherung die Form 



ane -v-c n = i 10 A) 



C„ = — UA) 



N 



Aus diesen lassen sich zwar a und \i. nicht mehr gesondert berechnen. Dies ist aber auch zur 

 Bestimmung der Verteilung nicht mehr nötig, dehn aus 9) folgt 



W\ — a e~<'- c " , 

 also nach 10 A) 



wi = — , 9-4) 



n 



identisch mit 1). Das heißt bei hoher Dimensionszahl des Zustandsraumes nähert sich die 

 Verteilung jener, welche ohne die Bedingung II) vorhanden wäre; sie wird gleichförmig und un- 

 abhängig von der gegebenen Funktion H(£ t , £»...£,.). Aus 7) und IIA) aber folgt 



E l =C n = — ; 7A) 



N 



das heißt, man erhält denselben Wert für E>,, wie wenn man von vornherein allen Elementen 

 denselben Anteil von E zugeteilt hätte. 



Sinngemäß nennt man den Ausdruck 



X = n l ' X = ii i 



v Z Xifi= Z mß ' 



N 



wo fx den Wert einer Funktion /(£„ £.,...£,) in der X+ lten Zelle bedeutet, den statistischen Mittel- 

 wert der Funktion f im Räume Q, So besagt Bedingung 11), daß der Mittelwert der Punktion 



