örimdiagen der statistischen Mechanik. 4o7 



Nun ist der Schnitt der Kugel 



K]i + Tji + .-..+ij»=2a 



mit der Ebene 



die Kugelfläche niedrigerer Pimension 



■f(\ + r& + . . . + rg_, + ^ + i + • • • +■$■ ~ 2 (Gl— Cy 

 oder in Polarkoordinaten 



Demnach ist in bezug auf p von bis v/2 Q , in bezug auf _ y . + 1 von arc cos . /l — _ bis — - 



V g 2 



zu integrieren, während der Rest des Integrals 



\ \ / COS r-3 r f / + 2. . .cos 'f x _ 2 d &-,.+., ä'£ K + ? ,. . .d'f v ._.> 



die Oberfläche einer Einheitskugel im r — 1 — dimensionalen Raum bedeutet, also identisch ist mit 



r—l 



(r—\) tu 2 

 -i 



2 



Obwohl man bereits hier das für uns allein Wesentliche, nämlich die Symmetrie des Mittel- 

 wertes M hinsichtlich der r Achsen Si, Sa.... S»-, erkennt, soll die Rechnung der Deutlichkeit wegen 

 doch etwas ausgeführt werden. 



Das Volum des Sektors ist 



r- 1 _ 



p r_1 COS'' -2 >i % + l Jrj d'£.,_ +i — 



r i + 



f — 1\ Jo J . /, c n 



•'" ^arc cos v / 1— -J- 



V CX 



sA-t 



(r-l)Tc 2 (2 0)^1 . dx. 



v/1 — .v- 



1 + L T 



Mit Hilfe der Rekursionsformel 



/. <* . /, _ Qt 



V 1 "^ r-3 V 1_ ä 



V- 



*'-'- ä* = - J- .fs.fi- sr+ '- 3 r ^= * 



V'l-.t* r-2Vß l Cj r— 2.A v/ 1 -** 



1 Mail kann diesen Ausdruck leicht aus dem im § 4 verwendeten für das Volum eines Ellipsoids im r-dimensionalen Kaum 

 herleiten. Wie man aus diesem sogleich erkennt, ist das Volum einer Kugel vom Radius R im r — 1 -dimensionalen Raum 



TT 



1+ ^ 



ff' '; 



andrerseits liil.it sich dieses Volum darstellen in der Form 



I / {/ *dpdo~ 0, 



wenn do ein Oberflächenelement, die Oberfläche der Kugel ist. Durch Vergleich beider ausdrücke ergibt sich für der 



obenstehende Ausdruck. 



Denkschriften der iimtliem.-iiaturw. Klasse, 9f>. lianJ. 50 



