Grundlagen der statistischen Mechanik. ' 409 



Indem man in diesem Ausdruck statt X, ja entsprechend X -+- 1, respektive jj, + 1 schreibt, erhält 

 man auch sogleich die Ausdrücke S>. + lj|t , 5>., a + 1 und 5>. + 1> , 1 + 1 und aus diesen nach 20) das Volum 

 der Zelle Q Xfl . Damit ist aber auch nach 19) w>. (l und nach 18) der gesuchte Mittelwert M gewonnen. 

 Ohne uns auf die spezielle Form der so erhaltenen Ausdrücke näher einzulassen, wollen wir nur eine 

 Eigenschaft derselben hervorheben. Der Ausdruck 21) enthält außer den Größen r, Q., C v . nur 

 (q c 2 . . . c r )~i ; mit diesem Faktor erscheint also auch Q),^ multipliziert. Derselbe Faktor kommt aber 

 auch in dem Ausdruck für Q>, vor, so daß der Mittelwert M den Faktor gar nicht mehr enthält. In 

 anderer Weise aber treten die Größen c v c 2 ...c r in den Ausdruck für M überhaupt .nicht ein. Dem- 

 nach erscheint in diesem Ausdruck die £ X -Achse in keiner Weise ausgezeichnet; wir hätten 

 denselben Wert für M erhalten, wenn wir den Mittelwert eines anderen Summanden in dem Aus- 

 druck IIa für H(?j, ßg... g,.) gesucht hätten. Also ist der Mittelwert eines jeden c, g für alle 

 Werte % =: 1, 2. . .r derselbe. 



Dieser Mittelwert kann daher sofort angegeben werden: er beträgt den r-ten Teil des Mittel- 

 wertes von 2H(£i, g 2 ...£ ; .) und ist somit 



K 



M—2 . 22) 



rN 



Man erkennt, daß dieser Satz aus der geometrischen Tatsache fließt, daß das Segment 5>.,, für 

 alle r Achsen des Hyperellipsoids denselben Inhalt hat. Auf die zweidimensionale Ebene angewendet, 

 lautet der Satz so: Teilt man die große und die kleine Halbachse einer Ellipse im selben Verhältnis 

 und zieht durch die beiden Teilungspunkte je eine auf der betreffenden Achse senkrechte Sehne, so 

 werden durch beide Sehnen inhaltsgleiche Segmente abgeschnitten. 



9. 



Ehe zur Anwendung der vorstehenden Überlegungen auf die statistische Behandlung physika- 

 lischer Erscheinungen geschritten wird, möge noch eine Bemerkung über die Wahl der Zellenzahl n 

 Platz finden. 



Während es nämlich in der Natur des statistischen Verteilungsproblems gelegen ist, daß der 

 Raum ß, in welchem die Verteilung vorzunehmen ist, sowie die Zahl N der zu verteilenden Elemente 

 als gegebene Größen anzusehen sind, ist dies mit der Zahl der Zellen, in welche der Raum eingeteilt 

 gedacht wird, nicht der Fall. Die Zelleneinteilung ist zum Zwecke der Durchführbarkeit der statistischen 

 Methode erst geschaffen worden und die Zahl der Zellen ist daher zunächst vollkommen willkürlich. 

 Zwei Umstände sind es jedoch, welche diese Willkür hinterdrein beschränken. 



Der erste ist die Verwendung der Stirling'schen Formel. Bekanntlich gilt diese strenge erst im 

 Grenzübergang zu einer unendlich großen Zahl von Elementen. Da wir es stets nur mit einer endlichen 

 Zahl solcher zu tun haben, werden wir bei Anwendung der Formel einen Fehler begehen, der um so 

 kleiner sein wird, je größer die Zahl der Elemente ist. Indem wir nun die Stirling'sche Formel auf 

 die Zahl der in einer Zelle befindlichen Elemente angewendet haben, mußten wir voraussetzen, daß 

 diese hinreichend groß sei, um die Anwendung der Formel zu ermöglichen. Dies bedeutet, genauer 

 gesagt, folgendes: Lassen wir höchstens eine bestimmte Größe des Fehlers zu, so darf die Zahl der 

 in einer Zelle befindlichen Elemente nicht unter einen gewissen Grenzwert herabgehen; oder, da die 

 Gesamtzahl der Elemente A r vorgeschrieben ist, so darf das Volum einer Zelle nicht unter einen 

 gewissen untern Grenzwert sinken, also die Zahl // der Zellen nicht über einen gewissen oberen 

 Grenzwert steigen. 



Der zweite Umstand, welcher die Willkürlichkeit von » oder A T einschränkt, tritt nur bei dem 

 spezielleren Verteilungsproblem auf, bei welchem die Verteilung der Bedingung 10 unterworfen ist. 

 In diesem Falle wird nämlich allen Elementen innerhalb einer Zelle derselbe Won Ex der Funktion 

 H(£j, £,...£,.) zugeschrieben, zum Beispiel das arithmetische Mittel der Kunktionswerte an den (.hon 



