Grundlagen der statistischen Mechanik. 41 1 



zu tun. Diese Bedingung wird beispielsweise erfüllt von einer Raumgesamtheit von Systemen; auf 

 eine solche können wir also die statistischen Untersuchungen des vorigen Abschnittes anwenden. Sie 

 wird aber offensichtlich nicht erfüllt von einer Zeitgesamtheit von Systemen, das heißt von 

 der Gesamtheit aller Zustände, welche ein physikalisches System der Reihe nach durchläuft; eine 

 solche kann also auch nicht unmittelbar Gegenstand eines Verteilungsproblems sein. Gerade diese von 

 der klassischen statistischen Mechanik bevorzugte Gesamtheit bleibt demnach hier ausgeschlossen. 1 

 Wollen wir nun eine Raumgesamtheit von N physikalischen Systemen verschiedenen Verteilungen 

 unterwerfen und auf diese die im vorigen Abschnitt auseinandergesetzten statistischen Überlegungen 

 anwenden, so haben wir noch zwei Voraussetzungen zu erfüllen, welche jenen Überlegungen not- 

 wendig zugrunde liegen. Die eine besteht darin, daß die Verteilung der die Systeme darstellenden 

 Phasenpunkte in einem begrenzten Teil des r-dimensionalen Raumes vor sich gehen muß; daß sich 

 also eine geschlossene r — 1-dimensionale Fläche angeben lasse, welche einen bestimmten Raumteil 

 vom Inhalt ß abgrenzt und innerhalb deren die genannten Punkte bei jeder Verteilung liegen. Andern- 

 falls hätte die im vorigen Abschnitt bentuzte Einteilung des Raumes in eine bestimmte Zahl n von 

 Zellen keinen faßbaren Sinn. Die andere Voraussetzung statuiert, wie schon im § 1 hervorgehoben 

 ist, die Unabhängigkeit der Elemente der Verteilung, also der physikalischen Systeme, voneinander 

 hinsichtlich ihres Zustandes, so daß die Lage eines Phasenpunktes im Zustandsraume ein von den 

 Lagen aller übrigen Punkte unabhängiges Ereignis ist. Die letzte Forderung nun hat die größte Trag- 

 weite: sie hängt innig zusammen mit der Frage nach dem Zweck wie nach der Erlaubtheit statisti- 

 scher Methoden in der Physik und sie liefert das wesentliche Fundament für den Aufbau der statisti- 

 schen Mechanik. Dies soll hier auseinandergesetzt werden. 



11. 



Indem die Elemente der Verteilung als »physikalische Systeme« charakterisiert sind, soll aus- 

 gedrückt werden, daß die r Variabein, welche den Zustand eines jeden solchen bestimmen, gesetzmäßig als 

 Funktionen der Zeit definiert sind. Um den folgenden Auseinandersetzungen größere Klarheit und 

 Bestimmtheit zu geben, wollen wir annehmen, daß diese Gesetze die Form von r Differentialgleichungen 

 erster Ordnung mit der Zeit / als unabhängigen Variabein haben — ohne daß hierdurch der All- 

 gemeingültigkeit unserer Untersuchung ein Abbruch geschähe. Diese Gleichungen geben für jedes 

 System die Geschwindigkeit nach Größe und Richtung an, mit welcher der Phasenpunkt im Zustands- 

 raum fortwandert. Die Integration der r Differentialgleichungen gibt die r Zustandsveränderlichen als 

 Funktionen der Zeit und der Anfangswerte; das heißt, wäre die Anfangslage des Phasenpunktes im 

 Zustandsraume bekannt, so würde man auch die Bahn desselben zu allen späteren Zeiten kennnen, 

 sowie die Geschwindigkeit, mit der sie durchlaufen wird. Nun ist im Sinne unserer statistischen 

 Untersuchung nicht die Anfangslage eines jeden Phasenpunktes als bekannt anzusehen — wegen der 

 allzu großen Zahl derselben — sondern die Anfangsverteilung der Punkte auf die Zellen des 

 Zustandsraumes, also die Zahl der Punkte in jeder Zelle zu Anfang der Zeit. Durch die Wanderung 

 der Punkte im Zustandsraum wird sich die Verteilung im allgemeinen ändern. Ist diese Änderung der 

 Verteilung übersehbar, das heißt trotz der großen Zahl der Punkte berechenbar? Wenn sie es ist, 

 dann hat offenbar die statistische Betrachtungsweise keine Berechtigung mehr; denn, wenn man die 

 Verteilung der A r Punkte auf die Zellen des Zustandsraumes für alle Zeiten berechnen kann, wofern 

 sie einem nur zu Anfang gegeben ist, ist damit auch die Frage nach der Häufikeit irgendeiner Ver- 

 teilung erledigt. Die statistische Schlußweise kann dann nur entweder überflüssig oder falsch sein. 



Man erkennt nun sogleich, daß dem wirklich so ist, wenn die V physikalischen Systeme 

 voneinander vollständig unabhängig sind. Denn in diesem Falle üben sie aufeinander keinerlei 



1 Dies hindert nicht, daß man indirekt auch eine solche Zeitgesamtheit statistisch untersuchen kann, indem man sie auf 

 eine Kaumgesamtheit abbildet. Ein Heispiel für eine solche Abbildung siehe im § 18, 



